[論文レビュー] Search problems in algebraic complexity, GCT, and hardness of generator for invariant rings

Ankit Garg, Christian Ikenmeyer+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2019

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ハイパーパフラリアンを用いて、SLₙ(ℂ)-表現の不変式環が多項式サイズの要約的符号化を許容するというムルムレーシの予想を反証し、明示的な反例を構成した。同論文は、このような生成子の計算がVNP-完全であることを確立し、標準的な複雑性仮定のもとで、多項式サイズの符号化が存在すればVPがVNPに等しくなると示唆する。

ABSTRACT

We consider the problem of computing succinct encodings of lists of generators for invariant rings for group actions. Mulmuley conjectured that there are always polynomial sized such encodings for invariant rings of $\SL_n(\C)$-representations. We provide simple examples that disprove this conjecture (under standard complexity assumptions). We develop a general framework, denoted \emph{algebraic circuit search problems}, that captures many important problems in algebraic complexity and computational invariant theory. This framework encompasses various proof systems in proof complexity and some of the central problems in invariant theory as exposed by the Geometric Complexity Theory (GCT) program, including the aforementioned problem of computing succinct encodings for generators for invariant rings.

研究の動機と目的

• SLₙ(ℂ)-表現における不変式環の生成子の多項式サイズの要約的符号化の存在を調査すること。
• 幾何学的複雑性理論（GCT）におけるムルムレーシの予想、すなわち、このような符号化が常に存在するとの仮定に挑戦すること。
• 代数的回路探索問題、不変式論、およびVPやVNPなどの基本的複雑性クラスとの間の関係を確立すること。
• 特定の不変式環の生成子の計算が、VNP-完全問題を解くのと同程度の難易度であることを示すこと。
• 代数的複雑性と計算不変式論の問題を統合する一般枠組み—代数的回路探索問題—を提供すること。

提案手法

• 代数的複雑性と不変式論の問題を統合するための代数的回路探索問題の形式的枠組みを導入すること。
• SL₂ₖₙ(ℂ)作用下での⊗²ᵏℂ²ᵏⁿ上における、ハイパーパフラリアン多項式Pfₖ,ₙを主要な不変量として用いること。
• k ≥ 2 が偶数の場合、Pfₖ,ₙがVNP-完全であることを示し、テンソル積から恒等的恒等式への射影を用いる。
• テンソルpの線形パラメータ化を構築し、⟨v, p⊗ⁿ⟩が定数倍を除いて恒等的恒等式に一致することを示すこと。
• 不変式環生成子の多項式サイズの要約的符号化が存在すれば、Pfₖ,ₙに対する多項式サイズの回路が得られることを証明すること。
• Pfₖ,ₙのVNP-完全性を応用し、このような符号化がVP = VNPを意味することを示し、標準的な複雑性仮定に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ムルムレーシの予想が正しければ、SLₙ(ℂ)-表現の不変式環は常に多項式サイズの要約的符号化を許容するのだろうか？
• RQ2 Pfₖ,ₙが不変式の生成に果たす役割を踏まえ、Pfₖ,ₙは多項式サイズの代数的回路で計算可能だろうか？
• RQ3 不変式環の生成子の計算問題の複雑性は、VNP-完全問題と同等だろうか？
• RQ4 恒等的恒等式はSL₂ₖₙ(ℂ)作用下のテンソル不変量から射影可能だろうか？ そしてこれは回路複雑性にどのような含意を持つのか？
• RQ5 不変量の多項式サイズ符号化がVP vs. VNP問題にどのような含意を持つのか？

主な発見

• この論文は、ムルムレーシの予想に対する明示的な反例を構成し、すべてのSLₙ(ℂ)-不変式環が多項式サイズの要約的符号化を許容するわけではないことを示した。
• k ≥ 2 が偶数の場合、ハイパーパフラリアンPfₖ,ₙはVNP-完全であることが示され、高い計算複雑性が確立された。
• 線形パラメータ化されたテンソルpにおけるPfₖ,ₙの評価は、非ゼロ定数倍を除いてd×d恒等的恒等式に一致し、Pfₖ,ₙからPerₙへの射影を証明した。
• SL₂ₖₙ(ℂ)作用下における⊗²ᵏℂ²ᵏⁿ上の同次不変量の空間は1次元であり、Pfₖ,ₙによって張られる。
• 不変式環生成子の多項式サイズの要約的符号化が存在すれば、Pfₖ,ₙに対する多項式サイズの回路が得られることを示した。
• 従って、標準的な複雑性仮定（VP ≠ VNP）のもとでは、これらの不変式環に対してはこのような多項式サイズの符号化は存在しない。