[論文レビュー] Search Problems in Trees with Symmetries: Near Optimal Traversal Strategies for Individualization-Refinement Algorithms.

Markus Anders, Pascal Schweitzer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Optimization and Search Problems被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、対称木における同型性探索問題を解くための確率的で近似的最適な走査戦略を導入し、実用的なグラフ同型性ツールのバックトラッキング動作をモデル化する。木のサイズの平方根に比例するクアシリニアな期待葉訪問回数を証明し、下界も一致させ、Tracesのようなツールで確率的幅優先探索が決定的深さ優先手法を上回る理由を説明する。

ABSTRACT

We define a search problem on trees that closely captures the backtracking behavior of all current practical graph isomorphism algorithms. Given two trees with colored leaves, the goal is to find two leaves of matching color, one in each of the trees. The trees are subject to an invariance property which promises that for every pair of leaves of equal color there must be a symmetry (or an isomorphism) that maps one leaf to the other. We describe a randomized algorithm with errors for which the number of visited leaves is quasilinear in the square root of the size of the smaller of the two trees. For inputs of bounded degree, we develop a Las Vegas algorithm with a similar running time. We prove that these results are optimal up to logarithmic factors. We show a lower bound for randomized algorithms on inputs of bounded degree that is the square root of the tree sizes. For inputs of unbounded degree, we show a linear lower bound for Las Vegas algorithms. For deterministic algorithms we can prove a linear bound even for inputs of bounded degree. This shows why randomized algorithms outperform deterministic ones. Our results explain why the randomized breadth-first with intermixed experimental path search strategy of the isomorphism tool Traces (Piperno 2008) is often superior to the depth-first search strategy of other tools such as nauty (McKay 1977) or bliss (Junttila, Kaski 2007). However, our algorithm also provides a new traversal strategy, which is theoretically near optimal with better worst case behavior than traversal strategies that have previously been used.

研究の動機と目的

• 実用的なグラフ同型性アルゴリズムのバックトラッキング動作を、対称木上の探索問題としてモデル化すること。
• 色付き木の対称性を尊重しつつ、葉訪問回数を最小化する確率的アルゴリズムを開発すること。
• 有界および無限大の次数を持つ木における確率的および決定的アルゴリズムの理論的下界を確立すること。
• nauty や bliss のようなツールにおける Traces の確率的幅優先戦略が、決定的深さ優先戦略を実験的に上回る理由を説明すること。
• 個別化・精錬アルゴリズムにおける同型性探索に対して、証明可能な近的最適な最悪ケース性能を達成する新たな走査戦略を提供すること。

提案手法

• 同じ色の葉同士が常に対称的写像で移りあえるという、対称性不変性を持つ色付き木上の探索問題を形式化する。
• 期待訪問回数を最小化するように葉を訪問する確率的アルゴリズムを提案し、小さい方の木のサイズの平方根に比例するクアシリニアな複雑度を達成する。
• 有界次数の入力に対しては、同様の期待性能保証を持つラスベガス型変種を設計する。
• 確率的解析と対称性の活用を用いて、葉探索回数の期待値を制限する。
• 敵対的木構造の構築を用いて下界を導出し、対数要因を除いて最適性を証明する。
• 木の同型性探索からの還元を用いて、対称性制約下での走査の本質的難易度を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称木において、同じ色の葉ペアを発見するために必要な確率的戦略下での最適期待葉訪問回数は何か？
• RQ2 有界次数と無限大次数の木において、確率的および決定的アルゴリズムの下界はどのように異なるか？
• RQ3 なぜ Traces の確率的幅優先探索が実際には決定的深さ優先戦略を上回るのか？
• RQ4 同型性探索において、対称木内で近的最適な最悪ケース性能を達成する新たな走査戦略を設計できるか？
• RQ5 色付き木の対称性は、探索アルゴリズムの効率をどの程度制約するか？

主な発見

• 提案された確率的アルゴリズムは、小さい方の木のサイズの平方根に比例するクアシリニアな期待葉訪問回数を達成する。
• 有界次数の木に対しては、ラスベガス型変種が同様の期待性能バウンドを達成する。
• 有界次数の木における確率的アルゴリズムに対して Ω(√n) の下界が証明され、アルゴリズムの近的最適性が示される。
• 無限大次数の木に対しては、ラスベガス型アルゴリズムに対して線形下界 Ω(n) が確立され、本質的制限が示される。
• 有界次数の木でさえも、決定的アルゴリズムに対して線形下界 Ω(n) が証明され、それらが確率的アルゴリズムに劣ることの理由が説明される。
• 理論的結果は、Traces の確率的幅優先戦略が nauty や bliss のようなツールで決定的深さ優先アプローチを実験的に上回る理由を説明する。