[論文レビュー] Searching for Maximum Out-Degree Vertices in Tournaments

Gregory Gutin, George B. Mertzios+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Artificial Intelligence in Games参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、トーナメントにおける最大出次数の頂点を特定するには、最悪ケースで少なくとも $inom{n}{2} - O(n)$ 個の二分比較が必要であることを確立している。これは、キングを特定するための $ heta(n^{3/2})$ のコストよりもはるかに高い。著者らは、正則およびほぼ正則なトーナメントに対して敵対者戦略を用いて、タイトな下界を示し、最大出次数の頂点を探索することはキングを探索するのとは根本的に高コストであることを示している。

ABSTRACT

A vertex $x$ in a tournament $T$ is called a king if for every vertex $y$ of $T$ there is a directed path from $x$ to $y$ of length at most 2. It is not hard to show that every vertex of maximum out-degree in a tournament is a king. However, tournaments may have kings which are not vertices of maximum out-degree. A binary inquiry asks for the orientation of the edge between a pair of vertices and receives the answer. The cost of finding a king in an unknown tournament is the number of binary inquiries required to detect a king. For the cost of finding a king in a tournament, in the worst case, Shen, Sheng and Wu (SIAM J. Comput., 2003) proved a lower and upper bounds of $Ω(n^{4/3})$ and $O(n^{3/2})$, respectively. In contrast to their result, we prove that the cost of finding a vertex of maximum out-degree is ${n \choose 2} -O(n)$ in the worst case.

研究の動機と目的

• トーナメントにおける最大出次数の頂点を特定するための二分比較の最悪ケースコストを特定すること。
• 最大出次数の頂点を特定する複雑さと、既に $ heta(n^{3/2})$ であると知られているキングを特定する複雑さを比較すること。
• 最大出次数の頂点を正しく特定するために必要なエッジの向きに関するクエリ数のタイトな下界を確立すること。
• 最大出次数の頂点に制限を設けることでキングを効率的に特定できるかどうかを検証すること。これは、コストの制度が顕著に異なるためである。

提案手法

• クエリプロセス中を通して、固定された正則またはほぼ正則なトーナメント構造を維持する敵対者戦略が用いられる。
• 敵対者は、固定されたトーナメント内の実際の弧の向きに基づいて二分比較に答えながら、アルゴリズムが最大出次数の頂点を確認できるように遅らせる。
• 十分なクエリが行われない場合、敵対者は残りの未知の弧を操作することで、真の最大出次数の頂点を他の頂点と区別できないように保証する。
• 各非ターゲット頂点が最大出次数の頂点ではあり得ないことを示すために、最低限どのくらいのインバウンドエッジ数を知る必要があるかを分析することで、下界を導出する。
• 奇数 $n$（正則トーナメント）と偶数 $n$（ほぼ正則トーナメント）の違いを区別するパリティに基づくケース分析が用いられる。
• すべての他の頂点からの最小必要なインバウンド次数の合計が、クエリ数の下界を導出するために用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーナメントにおける最大出次数の頂点を特定するために必要な二分比較の最悪ケース数は何か？
• RQ2 最大出次数の頂点を特定するクエリの複雑さは、トーナメントにおけるキングを特定するのと比べてどう異なるか？
• RQ3 最大出次数の頂点を特定するために必要なクエリ数に対して、タイトな下界を確立できるか？
• RQ4 クエリコストの差異を考慮すると、キング特定アルゴリズムを最大出次数の頂点に制限することは可能か？

主な発見

• $n$ 頂点をもつトーナメントにおいて、最大出次数の頂点を特定する最悪ケースコストは、$inom{n}{2} - O(n)$ 個の二分比較以上である。
• 奇数 $n$ の場合、最悪ケースでの下界は $rac{(n-1)^2}{2}$ クエリである。
• 偶数 $n$ の場合、最悪ケースでの下界は $rac{(n-1)(n-2)}{2}$ クエリである。
• これらの下界は、完全なエッジ数から線形項を引いたものと一致するため、タイトである。これは、トーナメントのほぼ完全な知識が要求されることを示している。
• この結果は、最大出次数の頂点を特定することはキングを特定するのよりもはるかに高コストであることを示しており、キングは $O(n^{3/2})$ クエリで達成可能である。
• 敵対者戦略により、最悪ケースで $inom{n}{2} - O(n)$ クエリ未満では、いかなるアルゴリズムでも最大出次数の頂点を正しく特定できないことが証明された。