[論文レビュー] Searching for partial Hadamard matrices

Víctor Álvarez, José-Andrés Armario+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、伊藤のハダマールグラフ $\Delta(4t)$ の部分グラフ $G_t$ におけるクリーク探索に基づき、大規模な部分ハダマール行列を構築するための3つのアルゴリズムを提案する。主な貢献は、最良のヒューリスティックアルゴリズムが、従来の漸近的上限を上回り、特にデ・ラウンイとゴードンの手法から得られる既存の部分行列を初期化として用いることで、$4t \times 4t$ ハダマール行列の半分を越えるサイズの部分ハダマール行列を生成できることである。

ABSTRACT

Three algorithms looking for pretty large partial Hadamard matrices are described. Here "large" means that hopefully about a third of a Hadamard matrix (which is the best asymptotic result known so far, [dLa00]) is achieved. The first one performs some kind of local exhaustive search, and consequently is expensive from the time consuming point of view. The second one comes from the adaptation of the best genetic algorithm known so far searching for cliques in a graph, due to Singh and Gupta [SG06]. The last one consists in another heuristic search, which prioritizes the required processing time better than the final size of the partial Hadamard matrix to be obtained. In all cases, the key idea is characterizing the adjacency properties of vertices in a particular subgraph G_t of Ito's Hadamard Graph Delta (4t) [Ito85], since cliques of order m in G_t can be seen as (m+3)*4t partial Hadamard matrices.

研究の動機と目的

• 直交する行を必要とするが、完全なハダマール行列を必要としない応用において有用な、大規模な部分ハダマール行列を構築するための効率的アルゴリズムの開発。
• 全探索の計算不能性を克服するため、$G_t$ におけるクリーク検出にヒューリスティックおよび遺伝的アルゴリズムを用いたアプローチの導入。
• 全 $4t \times 4t$ ハダマール行列の半分を超える深さの部分ハダマール行列が、$G_t$ におけるクリークベースの手法によって構築可能であることを示すこと。

提案手法

• 部分ハダマール行列の探索を、$\{+1,-1\}$-ベクトルが特定の直交性および分布制約を満たすような頂点を有する、伊藤のハダマールグラフ $\Delta(4t)$ の部分グラフ $G_t$ におけるクリーク探索問題としてモデル化する。
• 最初の手法は、$G_t$ におけるクリークの局所的全探索を実行し、正しさを保証するが、計算コストが非常に高い。
• 2番目の手法は、シンガーや ガプタの最大クリーク問題用遺伝的アルゴリズムを適応したものだが、全探索サブルーチンに依存するため、依然として計算コストが高い。
• 3番目の手法、アルゴリズム4.3は、クリークのサイズよりも実行時間の効率を優先するヒューリスティックであり、より大きなクリークの探索を高速化可能である。
• クリークの拡張は、対ごとの直交性を維持するように、頂点を逐次追加することで実施され、$G_t$ の構造を活用して探索空間を制限する。
• アルゴリズムは、デ・ラウンイ（2000年）およびデ・ラウンイ＝ゴードン（2001年）の手法から得られる部分ハダマール行列で初期化され、それらがより大きな深さに拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒューリスティックおよび遺伝的アルゴリズムは、大規模な部分ハダマール行列の構築において、全探索を上回る性能を示せるか？
• RQ2 $G_t$ におけるクリークベースの手法を用いて、全 $4t \times 4t$ ハダマール行列の半分を超える深さの部分ハダマール行列を構築することは可能か？
• RQ3 提案されたヒューリスティックアルゴリズム（アルゴリズム4.3）は、先行の構成から得られる既存の部分ハダマール行列をどれほど効果的に拡張できるか？
• RQ4 $G_t$ の構造を活用して、全探索を避ける効率的なクリーク探索アルゴリズムを設計可能か？
• RQ5 初期クリークの品質が、構築された部分ハダマール行列の最終的深さに与える影響は何か？

主な発見

• アルゴリズム4.3は、$G_4$ における5頂点クリークを12頂点クリークに拡張し、$15 \times 16$ の部分ハダマール行列を生成した。これは、完全な $16 \times 16$ ハダマール行列の半分を超える。
• t=6の場合、1分7秒で9頂点クリークを15頂点クリークに拡張し、$18 \times 24$ の部分ハダマール行列を生成した。
• t=8の場合、13頂点クリークを17頂点クリークに拡張し、$20 \times 32$ の部分ハダマール行列を生成した。再び、半分のサイズを超えた。
• t=7の場合、拡張は不可能であり、入力クリークが最大であったと示唆され、特定の初期構成では拡張可能性の限界がある可能性を示した。
• 結果から、デ・ラウンイ（2000年）およびデ・ラウンイ＝ゴードン（2001年）の高品質な部分行列を初期化として用いることで、ヒューリスティックアルゴリズムが、$2t$ を超える深さ（すなわち、$4t \times 4t$ 行列の半分を超える）の部分ハダマール行列を生成できることを示した。
• コサイクルフレームワークは本質的に制限を受けることが示された。コサイクル行列から得られる部分ハダマール行列は、行ペアリングの制約により、元の行列の半分を越えることはできない。