[論文レビュー] Searching, Sorting, and Cake Cutting in Rounds

Simina Brânzei, Dimitris Paparas+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Optimization and Search Problems被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、ラウンドベースのモデルにおける検索およびソーティング問題のクエリ複雑度を調査し、期待コスト設定において、確率的アルゴリズムと分布的クエリ複雑度の間で顕著な差が生じることを明らかにした。無順序検索で成功確率がpの場合、最悪入力に対する確率的アルゴリズムの期待クエリ複雑度は、np((k+1)/(2k)) ± O(1) である。一方、最悪入力分布に対する決定的アルゴリズムは、np(1−(k−1)/(2kp)) ± O(1) である。この比はn→∞のとき2−pに収束し、加法的ギャップはnに比例して増大する。

ABSTRACT

We study searching and sorting in rounds motivated by a fair division question: given a cake cutting problem with $n$ players, compute a fair allocation in at most $k$ rounds of interaction with the players. Rounds interpolate between the simultaneous and the fully adaptive settings, also capturing parallel complexity. We find that proportional cake cutting in rounds is equivalent to sorting with rank queries in rounds. We design a protocol for proportional cake cutting in rounds, while lower bounds for sorting in rounds with rank queries were given by Alon and Azar. Inspired by the rank query model, we then consider two basic search problems: ordered and unordered search. In unordered search, we get an array $\vec{x}=(x_1, \ldots, x_n)$ and an element $z$ promised to be in $\vec{x}$. We have access to an oracle that receives queries of the form "Is $z$ at location $i$?" and answers "Yes" or "No". The goal is to find the location of $z$ with success probability at least $p$ in at most $k$ rounds of interaction with the oracle. We show the expected query complexity of randomized algorithms on a worst case input is $np\bigl(\frac{k+1}{2k}\bigr) \pm O(1)$, while that of deterministic algorithms on a worst case input distribution is $np \bigl(1 - \frac{k-1}{2k}p \bigr) \pm O(1)$. These bounds apply even to fully adaptive unordered search, where the ratio between the two complexities converges to $2-p$ as the size of the array grows. In ordered search, we get sorted array $\vec{x}=(x_1, \ldots, x_n)$ and element $z$ promised to be in $\vec{x}$. We have access to an oracle that gets comparison queries. Here we find that the expected query complexity of randomized algorithms on a worst case input and deterministic algorithms on a worst case input distribution is essentially the same: $p k \cdot n^{\frac{1}{k}} \pm O(1+pk)$.

研究の動機と目的

• ラウンドベースのインタラクションモデルにおける検索およびソーティング問題の期待クエリ複雑度を分析すること。
• 自然な検索問題において、確率的と分布的クエリ複雑度の間の顕著なギャップを特定および定量すること。
• クエリ複雑度の結果を公平な分割問題に結びつけること：kラウンドのインタラクションにおける比例的カクテルカット。
• ラウンドモデル下での無順序および順序付き検索における期待クエリ複雑度のタイトな境界を確立すること。
• 分布的複雑度が確率的複雑度の定数倍で抑えられるかどうかという未解決の問いを解消すること。

提案手法

• 比較または等価性の応答を返すオラクルを伴う、ラウンドベースのインタラクション問題として検索およびソーティングをモデル化する。
• 要素zの位置に関する質問に対して「等しい」または「等しくない」と答えるランククエリモデルを、無順序検索に導入する。
• ヤオのミニマックス原理と分布的分析を用いて、最悪入力および最悪入力分布における確率的および決定的アルゴリズムを比較する。
• ベルヌーイの不等式や重み付きAM-GM不等式を適用し、クエリ複雑度の下界を導出する。
• kラウンドにおける比例的カクテルカットをランククエリを伴うソーティングに還元し、同値性を確立する。
• 再帰的構造と帰納的証明を用いて、クエリ複雑度のタイトな漸近的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 期待コスト設定において、確率的と分布的クエリ複雑度の間に、証明可能な大きなギャップが存在するか？
• RQ2 kラウンドにおける無順序検索のクエリ複雑度が、確率的および決定的アルゴリズムの両方でタイトに束縛可能か？
• RQ3 ラウンドでの検索のクエリ複雑度は、カクテルカットのような公平な分割問題とどのように関係するか？
• RQ4 n→∞のとき、確率的と分布的複雑度の比および加法的ギャップの漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 分布的複雑度が、確率的複雑度の定数倍で抑えられるか？

主な発見

• 無順序検索で成功確率p ∈(0,1)の場合、最悪入力に対する確率的アルゴリズムの期待クエリ複雑度は、np((k+1)/(2k)) ± O(1) である。
• 最悪入力分布に対する決定的アルゴリズムの期待クエリ複雑度は、np(1−(k−1)/(2kp)) ± O(1) である。
• 分布的複雑度と確率的複雑度の比は、n→∞のとき2−pに収束し、p ∈(0,1)のすべての値で1より大きい。
• 両者の複雑度の加法的ギャップはnに比例して増大し、n→∞の極限で∞に達する。
• 本論文では、lim_{n→∞} Dδ(un)/Rδ(un) = 1+δ および lim_{n→∞}(Dδ(un)−Rδ(un)) = ∞ を証明し、非定数ギャップを示している。
• 結果として、すべての部分関数fおよびδ>0に対して、Dδ(f) ≤ c·Rδ(f)+d を満たす普遍的な定数c,dが存在しないことが示され、c≥2が必要である。