[論文レビュー] Secant Varieties of the Varieties of Reducible Hypersurfaces in ${\mathbb P}^n$

Maria Virginia Catalisano, Anthony V. Geramita+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2015

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、射影空間内の可約超曲面の系列の交差多様体の交差多様体の次元について、グレード付き代数における弱Lefschetz性質への新しい接続を用いて、予想的な公式を提案する。多くの場合でその公式を条件なしに証明し、セグレ埋め込みおよびFrobergのヒルベルト関数に関する予想の特殊ケースを統合・検証する。

ABSTRACT

Given the space $V={\mathbb P}^{\binom{d+n-1}{n-1}-1}$ of forms of degree $d$ in $n$ variables, and given an integer $\ell>1$ and a partition $λ$ of $d=d_1+\cdots+d_r$, it is in general an open problem to obtain the dimensions of the $\ell$-secant varieties $σ_\ell ({\mathbb X}_{n-1,λ})$ for the subvariety ${\mathbb X}_{n-1,λ} \subset V$ of hypersurfaces whose defining forms have a factorization into forms of degrees $d_1,\ldots,d_r$. Modifying a method from intersection theory, we relate this problem to the study of the Weak Lefschetz Property for a class of graded algebras, based on which we give a conjectural formula for the dimension of $σ_\ell({\mathbb X}_{n-1,λ})$ for any choice of parameters $n,\ell$ and $λ$. This conjecture gives a unifying framework subsuming all known results. Moreover, we unconditionally prove the formula in many cases, considerably extending previous results, as a consequence of which we verify many special cases of previously posed conjectures for dimensions of secant varieties of Segre varieties. In the special case of a partition with two parts (i.e., $r=2$), we also relate this problem to a conjecture by Fröberg on the Hilbert function of an ideal generated by general forms.

研究の動機と目的

• 射影空間 $\mathbb{P}^n$ 内の可約超曲面の系列 $\mathbb{X}_{n-1,\lambda}$ に対する $(\ell-1)$-交差多様体 $\sigma_\ell(\mathbb{X}_{n-1,\lambda})$ の次元を特定すること。
• 期待次元が達成されない場合を含め、可約形式の交差多様体の次元を計算するという長年の未解決問題に取り組むこと。
• ヴェロネーゼ、セグレ、グラスマン多様体の交差多様体に関する既知の結果を包含する包括的な枠組みを確立すること。
• 問題をグレード付き代数における弱Lefschetz性質と関連づけ、一般形式によって生成されるイデアルのヒルベルト関数に関するFrobergの予想と結びつけること。
• セグレ埋め込みの交差多様体の非欠損性に関する予想を、パラメータの新たな範囲で検証すること。

提案手法

• 著者たちは、可約形式に関連するクラスのグレード付きアートン代数における弱Lefschetz性質の研究に接続することで、交差多様体次元問題を解明するための交線理論を用いる。
• 指定された次数の一般形式によって生成されるイデアルの構造を分析することで、幾何的問題を代数的問題に変換する手法を導入する。
• これらの代数における弱Lefschetz性質の失敗を研究することで、交差多様体が欠損しているかどうかを検出する。
• HochsterとLaksov、Anick、完全交差理論の結果を活用することで、予想的な次元公式を複数のケースで証明する。
• $r=2$（二変数形式）の場合、問題は一般形式によって生成されるイデアルのヒルベルト関数に関するFrobergの予想と関連づけられる。
• パラメータ数え上げと次元境界を用いて期待次元を導出し、実際の次元と比較することで欠損性を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^n$ 内の $\lambda$-可約形式の系列 $\mathbb{X}_{n-1,\lambda}$ に対する \/(\ell-1)$-交差多様体 $\sigma_\ell(\mathbb{X}_{n-1,\lambda})$ の次元は何か？
• RQ2 $\sigma_\ell(\mathbb{X}_{n-1,\lambda})$ が欠損しているのはいつか？その場合の欠損度は何か？
• RQ3 関連するグレード付き代数の弱Lefschetz性質が、可約形式の交差多様体の次元をどのように決定するか？
• RQ4 予想的な公式が、セグレおよびヴェロネーゼ多様体の交差多様体に関する既知の結果をどれほど統合するか？
• RQ5 Frobergの予想との接続を用いて、一般形式のヒルベルト関数に関する予想の新たなケースを証明できるか？

主な発見

• 本論文は、可約形式の交差多様体に関するすべての既知の結果を統合する予想的な公式 $\dim \sigma_\ell(\mathbb{X}_{n-1,\lambda})$ を提示する。
• この公式は多くの場合で条件なしに証明されており、セグレ埋め込みの交差多様体に関する以前の結果を顕著に拡張する。
• 著者たちは、パラメータの新たな範囲で、セグレ埋め込みの交差多様体の非欠損性に関する予想8.3を検証する。
• $r=2$ の場合、本論文は交差多様体次元問題と一般形式によって生成されるイデアルのヒルベルト関数に関するFrobergの予想との間の関係を確立する。
• 本論文は、$d_2 = \cdots = d_r \gg 0$ のとき $\sigma_\ell(\mathbb{X}_{n-1,\lambda})$ が欠損していないこと、およびこの極限においてセグレ埋め込みがバランスの取れた状態にあることを示す。
• 著者たちは、$\mathbb{X}_{n-1,\lambda}$ のアフィンコーンの交差多様体が欠損していないことを示し、主結果のための重要な技術的道具を提供する。