[論文レビュー] Secant varieties to osculating varieties of Veronese embeddings of $\mathbb{P}^n$

Alessandra Bernardi, Maria Virginia Catalisano+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2008

Tensor decomposition and applications参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$ℚ^n$ のヴェロネーゼ埋め込みにおける接的・包絡的多様体のセカント多様体について、アレクサンダー＝ヒルシュヴィッツ定理に類似した予想を確立し、特異性が脂肪点スキームのヒルベルト関数によって決定されることを証明する。この予想が $d=3$ で成り立つならば、すべての $d \geq 3$ で成り立つことが示され、$n \leq 9$ について検証されている。また、$k$-包絡的多様体のセカント多様体と $ℚ^n$ 内の 0次元スキームの予想に関する一般予想を提示している。主な貢献は、低次の $n$ におけるこれらの設定における特異セカント多様体の完全分類と、$d=3$ の場合への還元である。

ABSTRACT

A well known theorem by Alexander-Hirschowitz states that all the higher secant varieties of $V_{n,d}$ (the $d$-uple embedding of $\mathbb{P}^n$) have the expected dimension, with few known exceptions. We study here the same problem for $T_{n,d}$, the tangential variety to $V_{n,d}$, and prove a conjecture, which is the analogous of Alexander-Hirschowitz theorem, for $n\leq 9$. Moreover. we prove that it holds for any $n,d$ if it holds for $d=3$. Then we generalize to the case of $O_{k,n,d}$, the $k$-osculating variety to $V_{n,d}$, proving, for $n=2$, a conjecture that relates the defectivity of $σ_s(O_{k,n,d})$ to the Hilbert function of certain sets of fat points in $\mathbb{P}^n$.

研究の動機と目的

• $ℚ^n$ のヴェロネーゼ埋め込みにおける接的・包絡的多様体のセカント多様体について、アレクサンダー＝ヒルシュヴィッツ定理に類似した予想を確立すること。
• $\sigma_s(T_{n,d})$ の予想が $d=3$ で成り立つならば、すべての $d \geq 3$ で成り立つことを証明し、問題を $d=3$ の場合に還元すること。
• $k$-包絡的多様体 $O_{k,n,d}$ に一般化し、それらのセカント多様体と脂肪点スキームのヒルベルト関数との関係を調べること。
• COCOA などの計算ツールを用いて、$n \leq 9$ について予想を検証すること、特に臨界となる $d=3$ の場合を確認すること。
• セカント多様体 $\sigma_s(O_{k,n,d})$ の特異性が、$I_P^{k+1}$ と $I_P^{k+2}$ の間の理想を持つ一般点に台を持つ 0 次元スキームの予想とどのように関係するかを定式化し、証拠を提示すること。

提案手法

• $d \geq 4$ のセカント多様体の特異性問題を、$d=3$ の場合に還元するためにホラス微分補題を用いる。
• 逆系とヒルベルト関数の技法を適用し、幾何的特異性を 0 次元スキームの予想に関する条件に翻訳する。
• セカント多様体 $\sigma_s(O_{k,n,d})$ が特異であるための特徴付けとして、各点で $I_P^{k+1}$ と $I_P^{k+2}$ の間にある $Z_i$ を持つスキーム $Y = Z_1 \cup \cdots \cup Z_s$ が、$d$ 次の形式に対して独立な条件を課さないことが成り立つことを利用する。
• Cocoa を用いた計算代数により、$n \leq 9$ について $d=3$ の場合を検証し、これらのケースで予想が成り立つことを確認する。
• 二項係数と床関数を含む不等式を、漸近的および組合せ論的推定により証明し、$n$ や $d$ が大きい場合に予想が成り立つことを保証する。
• セカント多様体の特異性と、特定のスキームが $d$ 次形式に対して独立な条件を課さないという事実の同値性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n$ と $d$ に対して、$\sigma_s(T_{n,d})$ はアレクサンダー＝ヒルシュヴィッツ定理の既知の例外を除き、期待される次元を持つのか？
• RQ2 もし $\sigma_s(T_{n,d})$ の予想が $d=3$ で成り立つならば、すべての $d \geq 3$ に拡張可能か？
• RQ3 $k$-包絡的多様体 $O_{k,n,d}$ に対して、$\sigma_s(O_{k,n,d})$ がいつ特異的になるか、そしてそれが脂肪点スキームのヒルベルト関数とどのように関係するか？
• RQ4 $\sigma_s(O_{k,n,d})$ の特異性は、$I_P^{k+1}$ と $I_P^{k+2}$ の間の理想を持つ一般点に台を持つスキーム $Y$ の予想によって特徴付けられるか？
• RQ5 予想として、$\sigma_s(O_{k,n,d})$ が特異的であるのは、$Y$ が $d$ 次形式に対して独立な条件を課さないときである、という主張がすべての $n$、$k$、$d$、$s$ に対して成り立つか？

主な発見

• $\sigma_s(T_{n,d})$ の予想は $n \leq 9$ に対して成り立つことが確認され、COCOA を用いた $d=3$ の場合の計算的検証によって裏付けられた。
• もし予想が $d=3$ で成り立つならば、すべての $d \geq 3$ で成り立つことが示され、一般問題を単純化する還元原理が確立された。
• $n=2$ の場合、$\sigma_s(O_{k,n,d})$ の特異性が $ℚ^n$ 内の脂肪点の集合のヒルベルト関数に関係することを示す予想を証明し、完全な特徴付けが得られた。
• 論文は、$d \geq 4$ かつ $n \geq 7$、または $d=4$ かつ $n \geq 7$ の場合に、$s_{n,d} = \left\lfloor \frac{1}{2n+1} \binom{n+d}{n} \right\rfloor$ が必要な不等式を満たすことを証明し、これらのケースで予想が成り立つことを保証した。
• $d \geq 10$ の場合、$s_{4,d} - s_{3,d} - s_{3,d-1} - 2 \geq s_{4,d-3}$ および $s_{4,d} - s_{3,d} - s_{3,d-1} + 1 \leq s_{4,d-2}$ が成り立つことが検証され、帰納的議論のための重要な不等式が得られた。
• 著者らは、$d \geq 5$ かつ $n \geq 4$、または $d=4$ かつ $n \geq 7$ の場合に $2s_{n-1,d} \geq 4n - 1$ が成り立つことを確立し、関連するパrameter 範囲で予想の妥当性を支持した。