[論文レビュー] Second cohomology of Lie rings and the Schur multiplier

Max Horn, Seiran Zandi|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Lie環 $ L $ および自明な $ L $-加群 $ A $ に対して、第二コホモロジー群 $ H^2(L,A) $ の明示的構成を提供し、コホモロジー類と中心拡大の同値類との間に一対一対応を確立する。主な結果として、有限Lie環に対して $ H^2(L,\bbC^*) \to (F^2 \bigcap R)/[F,R] $ が得られ、シュール乗数 $ M(L) $ が $ H^2(L,\bbC^*) $ と同一視されることを示し、群およびLie代数理論における類似結果を反映している。

ABSTRACT

We exhibit an explicit construction for the second cohomology group $H^2(L, A)$ for a Lie ring $L$ and a trivial $L$-module $A$. We show how the elements of $H^2(L, A)$ correspond one-to-one to the equivalence classes of central extensions of $L$ by $A$, where $A$ now is considered as an abelian Lie ring. For a finite Lie ring $L$ we also show that $H^2(L, \C^*) \cong M(L)$, where $M(L)$ denotes the Schur multiplier of $L$. These results match precisely the analogue situation in group theory.

研究の動機と目的

• Lie環 $ L $ および自明な $ L $-加群 $ A $ に対して、第二コホモロジー群 $ H^2(L,A) $ の明示的記述を提供すること。
• $ H^2(L,A) $ の元と、$ A $ をアーベルLie環とみなしたときの $ L $ への中心拡大の同値類との間の全単射対応を確立すること。
• 有限Lie環 $ L $ に対して、シュール乗数 $ M(L) $ が $ H^2(L,\bbC^*) $ と同型であることを証明し、群およびLie代数理論における既知の結果を拡張すること。
• Lie環と $ k $-Lie代数の違いを明確にし、自由対象および加群構造の相違により、Lie環に関する結果がLie代数の結果を直接的に含まないことを示すこと。
• $ L = F/R $ という表示（$ F $ は自由、$ R $ はイデアル）を用いて、シュール乗数のホフプの公式のLie環版を確立すること。

提案手法

• 五つの公理（$ f $ に関する双線形性に類似した条件、$ f(x,x)=0 $ における反対称性、$ f $ と $ g $ を含むジャコビに類似した恒等式、$ g $ における対称性および加法性）を満たすコサイクル $ (f,g) \to Z^2(L,A) $ を定義する。
• 関数 $ t: L \to A $ で $ t(0)=0 $ を満たすものに対して、$ f(x,y) = -t([x,y]) $ および $ g(x,y) = t(x)+t(y)-t(x+y) $ を定め、コバウンダリー $ (f,g) $ を定義し、部分群 $ B^2(L,A) $ を形成する。
• 第二コホモロジー群を商 $ H^2(L,A) = Z^2(L,A)/B^2(L,A) $ として構成し、コホモロジー類 $ \bar{(f,g)} $ が拡大の同値類を表すことを示す。
• 表示 $ L = F/R $ を用いて、写像 $ \theta: F/[F,R] \to L^* $ を用いたリフト写像を通じて、中心拡大 $ 0 \to A \to L^* \to L \to 0 $ とコホモロジー類との対応を確立する。
• 全射性を示すために、写像 $ \text{Hom}(R/[F,R], \bbC^*) \to H^2(L,\bbC^*) $ を用いたトランスグレッション写像を導入し、拡大とコホモロジー類を結びつける。
• 補題6.4を適用して、$ L $ が有限のとき $ F^2 \bigcap R / [F,R] $ が有限であることを示し、$ \text{Hom}(K,\bbC^*) $ を用いた双対性により、$ H^2(L,\bbC^*) \to (F^2 \bigcap R)/[F,R] $ を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie環 $ L $ と自明な $ L $-加群 $ A $ に対して、第二コホモロジー群 $ H^2(L,A) $ をどのように明示的に構成できるか。
• RQ2 $ A $ をアーベルLie環とみなしたとき、$ H^2(L,A) $ の元と $ L $ への中心拡大の同値類との間の正確な対応関係は何か。
• RQ3 有限Lie環 $ L $ に対して、$ H^2(L,\bbC^*) $ とシュール乗数 $ M(L) $ との関係は何か。これは群論的類似と一致するか。
• RQ4 構造的類似性にもかかわらず、なぜLie環に関する結果が、体上のLie代数に関する結果を直接的に含まないのか。
• RQ5 $ L = F/R $ という表示を用いて、シュール乗数のホフプの公式をLie環に拡張できるか。その場合、$ H^2(L,\bbC^*) $ の結果的表現は何か。

主な発見

• Lie環 $ L $ と自明な $ L $-加群 $ A $ に対して、第二コホモロジー群 $ H^2(L,A) $ は、コサイクル $ (f,g) $ が五つの公理を満たし、コバウンダリーが関数 $ t: L \to A $ から生じることを前提として、$ Z^2(L,A)/B^2(L,A) $ として明示的に構成される。
• $ H^2(L,A) $ のコホモロジー類と、$ A $ をアーベルLie環とみなしたときの $ L $ への中心拡大の同値類との間に、自然な一対一対応が存在する。
• 有限Lie環 $ L = F/R $（$ F $ は自由）に対して、$ H^2(L,\bbC^*) \to (F^2 \bigcap R)/[F,R] $ が成り立ち、表示を用いたシュール乗数の明示的実現が得られる。
• シュール乗数 $ M(L) = H_2(L,\bbZ) $ は $ H^2(L,\bbC^*) $ と同型であり、Lie環におけるシュール乗数の定義が群論的およびLie代数的類似と一致することを確認する。
• 補題6.4により、$ L $ が有限のとき $ F^2 \bigcap R / [F,R] $ が有限であるため、$ H^2(L,\bbC^*) $ も有限であることが示される。
• 結果 $ H^2(L,\bbC^*) \to (F^2 \bigcap R)/[F,R] $ は、トランスグレッション写像および $ \text{Hom}(K,\bbC^*) $ を用いた双対性により導出され、$ K = R/[F,R] $ である。この導出は、補題6.3におけるトランスグレッション写像の全射性に依存する。