[論文レビュー] Second Hankel Determinant for certain class of bi-univalent functions defined by Chebyshev polynomials

Halit Orhan, N. Magesh+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Analytic and geometric function theory参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、開単位円板におけるチェビシェフ多項式と関連する新しい双正則関数のクラス $ \mathcal{N}_{\sigma}^{\mu}(\lambda,t) $ に対して、第二ハンケル行列式 $ |a_2a_4 - a_3^2| $ の鋭い上界を確立する。サブオーダランス原理を適用し、係数制約から導かれる実数値関数を最適化することで、パrameter $ \lambda $, $ \mu $, $ t $ に依存する明示的な上界を導出し、既存の結果を改善する。

ABSTRACT

Making use of Chebyshev polynomials, we obtain upper bound estimate for the second Hankel determinant of a subclass $\mathcal{N}_{σ}^μ\left( λ,t ight) $ of bi-univalent function class $σ.$

研究の動機と目的

• チェビシェフ多項式を用いて定義される新しい双正則関数のクラスにおける第二ハンケル行列式 $ |a_2a_4 - a_3^2| $ を調査すること。
• チェビシェフ多項式展開に関連するパrameter $ \lambda $, $ \mu $, $ t $ を組み込むことで、従来の双正則関数の係数上界を拡張すること。
• さまざまなパrameter設定下で、第二ハンケル行列式に対する明示的かつ鋭い上界推定値を提供すること。
• 特に Mustafa [28] の結果を改善するために、係数関数の臨界点解析を通じて上界を精緻化すること。

提案手法

• 著者らは、第一種チェビシェフ多項式を含むサブオーダランス条件を用いて、新しい双正則関数のクラス $ \mathcal{N}_{\sigma}^{\mu}(\lambda,t) $ を定義する。
• 関数とその逆関数の級数展開を用い、サブオーダランス原理を適用することで、係数不等式を導出する。
• 係数 $ a_2, a_3, a_4 $ およびパrameter $ \lambda, \mu, t $ に基づいて実数値関数 $ K(c,t) $ を構築し、$ c \in (0,2) $ の範囲で最大化することでハンケル行列式の上界を求める。
• 臨界点解析により $ K'(c,t) = 0 $ を解き、補助的表現 $ M_1, M_2, M_3, M_4 $ の符号に応じて、$ c = 0^+ $、$ c = 2^- $、または $ c = c_0 = \sqrt{-6M_4/M_3} $ における局所的最大値を特定する。
• $ M_3 $ と $ M_4 $ の符号に基づき4つの異なる場合に分け、それぞれで $ K(c,t) $ の最大値を計算し、区分的上界を導出する。
• 特殊ケース（$ \lambda = \mu $、$ \mu = 1 $、$ \lambda = \mu = 1 $）を検証することで、既知の上界が回復され、一貫性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チェビシェフ多項式を用いて定義される双正則関数のクラス $ \mathcal{N}_{\sigma}^{\mu}(\lambda,t) $ における第二ハンケル行列式 $ |a_2a_4 - a_3^2| $ の鋭い上界は何か？
• RQ2 パrameter $ \lambda $, $ \mu $, $ t $ は、このクラスにおける第二ハンケル行列式の大きさにどのように影響を与えるか？
• RQ3 係数関数の臨界点解析を通じて、特に Mustafa [28] の結果を改善できるか？
• RQ4 臨界点 $ c_0 $ が $ (0,2) $ 内にある場合を含め、さまざまなパrameter設定における上界の明示的表現は何か？

主な発見

• $ M_1 \geq 0 $ かつ $ M_2 \geq 0 $ の場合、第二ハンケル行列式 $ |a_2a_4 - a_3^2| $ の上界は $ \frac{4t^2}{(2\lambda + \mu)^2} $ であり、これは $ c = 0^+ $ で最大値をとる。
• $ M_3 \geq 0 $ かつ $ M_4 \geq 0 $ の場合、上界は $ K(2^{-}, t) = \frac{4t^2}{(2\lambda+1)^2} + \frac{M_3 + 3M_4}{6(\lambda+1)^4(2\lambda+1)^2(3\lambda+1)} $ であり、$ c = 2^- $ で達成される。
• $ M_3 < 0 $ かつ $ M_4 > 0 $ の場合、最大値は臨界点 $ c_0 = \sqrt{-6M_4/M_3} $ で達成され、$ K(c_0, t) = \frac{4t^2}{(2\lambda+1)^2} - \frac{3M_4^2}{8M_3(\lambda+1)^4(2\lambda+1)^2(3\lambda+1)} $ が得られる。
• $ \lambda = \mu $ の場合、$ \frac{1}{2} < t \leq t_{01} \approx 0.603615 $ では上界は $ t^2(1 - t^2) $、$ t_{01} < t < 1 $ では $ \frac{t(260t^4 + 84t^3 - 139t^2 - 18t + 9)}{8(18t^3 + 42t^2 - 17t - 9)} $ となる。
• クラス $ \mathcal{S}_{\sigma}^*(t) $ の場合、$ \frac{1}{2} < t \leq \frac{7 + \sqrt{401}}{44} \approx 0.6036 $ では上界は $ \frac{8t^2}{3} $、より大きな $ t $ では $ t^2 + \frac{t(2 + t - 11t^2)^2}{3(22t^2 - 7t - 4)} $ となる。
• 得られた上界は、特に臨界点 $ c_0 $ が端点値よりも厳密に大きい最大値をもたらすパrameter領域において、Mustafa [28] の結果を改善している。