[論文レビュー] Second Law of Thermodynamics, Macroscopic Observables within Boltzmann's Principle but without Thermodynamic Limit

D. H. E. Gross|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2001

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、熱力学的極限を仮定せずにボルツマンの原理を再解釈し、不可逆性が、フラクタルな位相空間部分多様体とその閉包を区別できないマクロな測定によって生じることを示している。通常の位相空間体積の代わりにボックスカウント測度を用いることで、不完全なマクロ観測に基づくアンサンブル平均と粗化処理に根ざした自然な方法で第二法則が導かれる。

ABSTRACT

Boltzmann's principle S=k ln W allows to extend equilibrium thermo-statistics to ``Small'' systems without invoking the thermodynamic limit. The clue is to base statistical probability on ensemble averaging and not on time averaging. It is argued that due to the incomplete information obtained by macroscopic measurements thermodynamics handles ensembles or finite-sized sub-manifolds in phase space and not single time-dependent trajectories. Therefore, ensemble averages are the natural objects of statistical probabilities. This is the physical origin of coarse-graining which is not anymore a mathematical ad hoc assumption. From this concept all equilibrium thermodynamics can be deduced quite naturally including the most sophisticated phenomena of phase transitions for ``Small'' systems. Boltzmann's principle is generalized to non-equilibrium Hamiltonian systems with possibly fractal distributions ${\cal{M}}$ in 6N-dim. phase space by replacing the conventional Riemann integral for the volume in phase space by its corresponding box-counting volume. This is equal to the volume of the closure $\bar{\cal{M}}$. With this extension the Second Law is derived without invoking the thermodynamic limit. The irreversibility in this approach is due to the replacement of the phase-space volume by the volume of its closure $\bar{\cal{M}}$. The physical reason for this replacement is that macroscopic measurements cannot distinguish ${\cal{M}}$ from $\bar{\cal{M}}$. Whereas the former is not changing in time due to Liouville's theorem, the volume of the closure can be larger. In contrast to conventional coarse graining the box-counting volume is defined in the limit of infinite resolution. I.e. there is no artificial loss of information.

研究の動機と目的

• 熱力学的極限に依存しない非平衡統計力学の基礎を確立すること。
• 不可逆性をマクロな測定の物理的限界に根ざさせることで、可逆性のパラドックスを解消すること。
• 粗化処理が恣意的な仮定ではなく、マクロ観測からの不完全な情報の自然な結果であることを示すこと。
• ボックスカウント体積を用いて、非平衡状態、あるいはフラクタルな分布をとる位相空間にボルツマンの原理を一般化すること。
• エントロピー増大則を、エリゴディシティや時間平均の仮定を避け、アンサンブル平均と位相空間部分多様体の閉包に根ざして導出すること。

提案手法

• エントロピーの基本的定義としてボルツマンの原理 $ S = k \ln W $ を用い、$ W $ を固定エネルギーにおける微状態の数とする。
• マクロな観測量 $ \hat{M} $ を、位相空間内に $ (6N-1) $ 次元の部分多様体 $ \mathcal{M} $ を定義する制約条件として定義する。
• 位相空間体積のリーマン積分の代わりに、ボックスカウント測度 $ \mathrm{vol}_{\text{box}} $ を用い、これは部分多様体 $ \overline{\mathcal{M}} $ の閉包の体積に等しい。
• フラクタルな分布 $ \mathcal{M} $ を持つ非平衡系をモデル化し、無限分解能極限におけるボックスカウントによる位相空間体積を定義する。
• マクロな観測による区別不能性によって、真のフラクタル体積 $ \mathrm{vol}_{\text{box}}(\mathcal{M}) $ が、より大きな体積 $ \mathrm{vol}_{\text{box}}(\overline{\mathcal{M}}) $ に置き換えられることで不可逆性が生じることを導出する。
• マクロ観測が本質的に単一の軌道を追跡するのではなく、部分多様体全体にわたる平均をとることを考慮すると、アンサンブル平均が物理的に自然であることを正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱力学的極限を仮定せずに、第二法則をどのように導出できるか？
• RQ2 統計力学における粗化処理の物理的起源は何か？ なぜそれは恣意的な数学的手法ではないのか？
• RQ3 リウヴィルの定理が体積保存を示すにもかかわらず、決定論的ハミルトニアン系でなぜ不可逆性が現れるのか？
• RQ4 ボルツマンの原理を、フラクタルな位相空間分布をとる非平衡系に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ5 マクロな測定が、有限系における統計アンサンブルと確率の定義において果たす役割は何か？

主な発見

• 位相空間部分多様体の閉包のボックスカウント測度を用いることで、熱力学的極限を仮定せずに第二法則を導出可能である。
• 不可逆性は力学的性質ではなく、マクロな測定がフラクタル集合 $ \mathcal{M} $ とその閉包 $ \overline{\mathcal{M}} $ を区別できない物理的限界に起因し、測定可能な体積が増加することに起因する。
• 粗化処理は恣意的な仮定ではなく、マクロ観測からの不完全な情報の自然な結果である。
• マクロ測定の確率 $ P(M) $ は、制約付き部分多様体のボックスカウント体積 $ W(M) $ と全微状態数 $ W $ の比として与えられる。
• 平衡熱力学、特に相転移でさえ、この枠組みから自然に導出可能であり、小系に対しても成立する。
• エリゴディシティ仮説を避け、時間平均を用いないことで、可逆性のパラドックスを回避する。統計力学は、軌道の時間平均ではなく、マクロに定義された部分多様体にわたるアンサンブル平均に根ざしている。