[論文レビュー] Second Moments and simultaneous non-vanishing of GL(2) automorphic L-series

Jeffrey Hoffstein, Min Lee|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2013

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ひとこと要約

本稿は、$Q$ を法とするディリクレ指標の平均をとった、$GL(2)$ 自型 $L$-級数のねじれ付きの2次モーメントの公式を確立し、$Q$ に制限がない状況でもほぼ最良のべき乗節約誤差項を達成している。主な貢献は、精密化されたシフトされた二重ディリクレ級数の推定と、これらの級数の特別値に関する平均値評価から導かれる、中心点における $L$-関数の同時非零性結果である。

ABSTRACT

We obtain a second moment formula for the L-series of holomorphic cusp forms, averaged over twists by Dirichlet characters modulo a fixed conductor Q. The estimate obtained has no restrictions on Q, with an error term that has a close to optimal power savings in the exponent. However, one of the contributions to the main term is a special value of a shifted double Dirichlet series. We show that this special value is small on average, and obtain a corresponding estimate for a mean value of the second moment over Q. This mean value is non-zero even when applied to a product of two distinct L-series, leading to a simultaneous non-vanishing result. Our approach uses the theory of shifted multiple Dirichlet series to obtain some refined estimates for double shifted sums. These estimates are the key ingredient in the second moment estimate.

研究の動機と目的

• 任意の $Q$ に対して制限なしに、$GL(2)$ 正則カスプ形式のディリクレ指標によるねじれ付き2次モーメントの漸近公式を導出すること。
• 主項に現れるシフトされた二重ディリクレ級数 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g)$ の特別値を分析し、2次モーメント問題の難易度を規定する。
• 平均値が $f \neq g$ の場合でも非零のままであることを示すことで、$L(1/2,f,\chi)$ と $L(1/2,g,\chi)$ の中心点における同時非零性を確立すること。
• 短い区間 $Q$ のまわりでの $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$ の平均値評価を提供し、この項が $\ll Q^{\theta - 1/2}$ であるという予想と整合的であることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、シフトされた多重ディリクレ級数の理論を用いて、2次モーメントを制御するために不可欠な、二重シフト和の精密な推定を導出する。
• 近似関数等式とペトソンのトレース公式を適用し、2次モーメントをクロスターマン和とベッセル関数の形に表現する。
• 重要な要素として、$Q$ を法とする指標に関する重み付き和を用い、$q \approx Q$ の周囲に局在化するためのガウス型重み $e^{-y^2(\log(Q/q))^2/(4\pi)}$ を導入する。
• 主項には $L(1,f\otimes g)$ と、シフトされた二重ディリクレ級数 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g)$ の特別値が含まれ、解析接続と留数抽出を用いて分析される。
• メリン変換と留数定理を用いて、$Q$ の近傍での $q$ に関する $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$ の平均値を計算し、主項が誤差項を支配することを示す。
• 証明は、$\zeta^{(N_0)}(v)$ の解析接続と、$\Re(v) > -1$ で絶対収束するオイラー積 $E_{f,g}^{(N_0)}(v)$ に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディリクレ指標による $GL(2)$ $L$-級数の2次モーメント公式は、導手 $Q$ に制限なしに導出可能か？
• RQ2 特別値 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g)$ の大きさは何か？ そして $Q$ に関してべき乗節約の形で有界化可能か？
• RQ3 $f \neq g$ の場合でも、2次モーメントの平均値が非零のままであるか？ これは中心点における $L$-関数の同時非零性を示唆する。
• RQ4 短い区間 $Q$ のまわりでの $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$ の平均値評価は確立可能か？ これにより、$\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g) \ll Q^{\theta - 1/2}$ という予想が支持されるか？
• RQ5 $f \neq g$ の場合でも、2次モーメント公式においてべき乗節約誤差項を達成可能か？

主な発見

• $f = g$ の場合、2次モーメント $S_{f,f}(Q)$ は、主項に $L(1,f,\text{Sym}^2)$ と特別値 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,f)$ を含む漸近公式を持ち、誤差項が $\mathcal{O}(Q^{\theta + \epsilon - 1/2})$ である。
• $f \neq g$ の場合、2次モーメント $S_{f,g}(Q)$ は漸近的に $2L(1,f\otimes g) + \tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g) + \tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;g,f) + \mathcal{O}(Q^{\theta + \epsilon - 1/2})$ に一致する。
• $Q$ の近傍での $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$ の平均値は $\gg Q^{-\epsilon}$ であることが示され、主項が $\gg 1$ であるため、平均的には特別値が無視できないことが示唆される。
• 平均値推定の主項は $\frac{L(1,f\otimes g)}{\zeta^{(N_0)}(2)} e^{\pi/y^2} \operatorname{Res}_{v=1} \zeta^{(N_0)}(v) E_{f,g}^{(N_0)}(1)$ であり、正であり、誤差項 $\mathcal{O}(Q^{\theta + \epsilon - 1})$ を支配する。
• 著者たちは、$\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g) \ll Q^{\theta - 1/2}$ が予想され、短い区間での平均値評価がこの境界を支持していることを示している。
• この結果は、同時に非零性の結果を示唆する：任意の同じ重みとネーベンティプスを持つ新形式 $f$ と $g$ に対して、$Q$ を法とする指標 $\chi$ の正の割合において、$L(1/2,f,\chi)$ と $L(1/2,g,\chi)$ は同時に零にならない。