[論文レビュー] Second-oder analysis in second-oder cone programming

Nguyen T. V. Hang, Boris S. Mordukhovich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非退化性仮定を課さない第二順序鋭錐計画問題（SOCP）に対する、最初の包括的な第二階微分的変分解析を提示する。ローレンツ錐の指示関数の2回の上位微分可能性を確立し、最も弱いメトリック部分正則性制約条件を用いて、正規錐写像の図形的導関数の明示的公式を導出する。これにより、摂動されたSOCP系におけるラグランジュ乗数の一意性および孤立的滑らかさの新たな特徴づけが可能になる。

ABSTRACT

The paper conducts a second-order variational analysis for an important class of nonpolyhedral conic programs generated by the so-called second-order/Lorentz/ice-cream cone $Q$. From one hand, we prove that the indicator function of $Q$ is always twice epi-differentiable and apply this result to characterizing the uniqueness of Lagrange multipliers at stationary points together with an error bound estimate in the general second-order cone setting involving ${\cal C}^2$-smooth data. On the other hand, we precisely calculate the graphical derivative of the normal cone mapping to $Q$ under the weakest metric subregularity constraint qualification and then give an application of the latter result to a complete characterization of isolated calmness for perturbed variational systems associated with second-order cone programs. The obtained results seem to be the first in the literature in these directions for nonpolyhedral problems without imposing any nondegeneracy assumptions.

研究の動機と目的

• 非多面体的構造を有するローレンツ錐に起因する困難さから生じる、非多面体的第二順序鋭錐計画問題（SOCP）の第二階微分的解析を開発すること。
• ローレンツ錐 ${\cal Q}$ の指示関数の2回の上位微分可能性を確立し、高階解析の基盤を提供すること。
• 最も弱い制約条件としてのメトリック部分正則性のもとで、SOCP制約集合への正規錐写像の図形的導関数の明示的公式を導出すること。
• これらの結果を応用し、ラグランジュ乗数の一意性および摂動された変分系における解写像の孤立的滑らかさといった重要な最適化特性を特徴づけること。
• 標準的な単一錐のケースを越えて、積錐への解析を拡張し、より広範な鋭錐プログラミングへの応用を示すこと。

提案手法

• 本稿は、特にロッカフェラーの上位微分可能性の概念を用いた第二階一般微分法を採用し、ローレンツ錐 ${\cal Q}$ の指示関数 $\delta_{\cal Q}$ を分析する。
• ${\cal Q}$ の幾何的構造を用いて、$\delta_{\cal Q}$ が2回上位微分可能であることを証明し、その第二上位微分の明示的公式を導出する。
• 第二階性質を導出するための、最も弱い実用的制約条件であるメトリック部分正則性制約条件（MSCQ）に依存する分析が行われる。
• 第二階上位微分と臨界錐解析を用いて、正規錐写像 $N_\Gamma$ の図形的導関数に対する新しい公式をMSCQのもとで導出する。
• 一般微分法と変分解析技法（特に臨界錐および正規錐構造の使用）を組み合わせたアプローチが採用される。
• 結果は、厳密ロビンソン制約条件（SRCQ）の双対となる新しい制約条件を介して応用され、一意性および誤差境界の特徴づけが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化性仮定なしに、第二順序鋭錐 ${\cal Q}$ の指示関数が2回上位微分可能であることを示せるか？
• RQ2 メトリック部分正則性のみを仮定した場合、SOCP制約集合 $\Gamma$ への正規錐写像の図形的導関数の正確な公式は何か？
• RQ3 第二階変分的ツールを用いて、SOCPにおけるラグランジュ乗数の一意性をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 厳密ロビンソン条件の双対となる新しい制約条件を用いて、SOCPにおける誤差境界推定を自動的に導出できるか？
• RQ5 摂動された変分系に関連するSOCPの解写像が、どのような条件下で孤立的滑らかさを示すか？

主な発見

• ローレンツ錐の指示関数 $\delta_{\cal Q}$ は2回上位微分可能であり、その第二上位微分は ${\cal Q}$ の幾何的データのみを用いて明示的に計算可能である。
• 非退化性を要件とせず、メトリック部分正則性制約条件（MSCQ）のもとで、正規錐写像 $N_\Gamma$ の図形的導関数が正確に計算可能である。
• 厳密ロビンソン条件の双対となる新しい制約条件が導入され、SOCPにおけるラグランジュ乗数の一意性の特徴づけに用いられる。
• 新しい制約条件を介して、$C^2$-滑らかさを満たすデータのもとで、SOCPの誤差境界推定が自動的に導出可能である。
• 摂動された変分系に関連するSOCPの解写像の孤立的滑らかさ特性は、図形的導関数と正規錐構造を含む新しい条件を用いて完全に特徴づけられる。
• 数値例により、一部の実行可能点では孤立的滑らかさが成立するが、他の点では成立しないことが確認され、理論的特徴づけの鋭さが裏付けられる。