[論文レビュー] Second-order analysis for the time crisis problem

Laurent Pfeiffer, Térence Bayen|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、制約集合 K の外に滞在する時間（時間危機問題）を最小化する有限区間最適制御問題—特に不連続なコスト関数を有するもの—に対して、2次必要最適性条件を確立する。時間再パrametrization を適用し、動的拡張を行うことで、問題を古典的マーヤー制御問題に変換し、標準的な最適制御手法を用いて、共役方程式、ジャンプ条件、および臨界円錐解析を通じて2次条件を導出する。得られた結果は、横断性および内向き制御条件の下でポントレージン乗数に対して有効である。

ABSTRACT

In this article, we prove second-order necessary optimality conditions for the so-called time crisis problem that comes up within the context of viability theory. It consists in minimizing the time spent by solutions of a controlled dynamics outside a given subset $K$ of the state space. One essential feature is the discontinuity of the characteristic function involved in the cost functional. Thanks to a change of time and an augmentation of the dynamics, we relate the time crisis problem to an auxiliary Mayer control problem. This allows us to use the classical tools of optimal control for obtaining optimality conditions. Going back to the original problem, we deduce that way second order optimality conditions for the time crisis problem.

研究の動機と目的

• 制約集合 K の外に滞在する時間を最小化する時間危機問題に対して、2次必要最適性条件を導出すること。
• 目的関数に K^c の特性関数が含まれるため、不連続なコスト関数の存在に起因する課題に対処すること。
• 時間再パラメータ化と動的拡張を用いて、元の問題を古典的マーヤー制御問題に変換すること。
• 横断性および内向き制御条件の下で、最適性条件の有効性を保証すること。
• 一般化されたおよびポントレージン乗数を用いて、1次結果を2次条件へと拡張すること。

提案手法

• 時間危機問題をマーヤー型問題に変換するために、区分的定数関数 ρ_τ(t) を用いた時間再パラメータ化を適用する。
• スイッチング構造 K^c をシステムに埋め込むために、状態および制御の動的拡張を行う。
• 拡張されたハミルトニアン H^a を定義し、交差時刻 τ_j におけるジャンプ条件を含む共役方程式を導出する。
• 線形化された状態および制約動的方程式を満たす妥当な摂動を特徴付けるために、臨界円錐 C(ū,τ̄) を定義する。
• φ、g、H^a の2次微分を含む2次形式 Ω[1,γ,ν](δu,δτ) を用いて2次条件を導出する。
• 一般化されたラグランジュ乗数 γ および ν がポントレージン乗数に還元され、定数倍を除いて一意的でかつ非特異的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続なコスト関数を有する時間危機問題に対し、2次最適性条件を導出することは可能か？
• RQ2 時間危機問題をどのように古典的最適制御問題に変換し、標準的手法を適用できるか？
• RQ3 横断性および内向き制御条件は、導出された最適性条件の有効性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 この文脈において、一般化されたラグランジュ乗数はポントレージン乗数と同等であるか？また、それらは一意的か？
• RQ5 制御および交差時刻の摂動に対して、2次条件はどのように振る舞うか？

主な発見

• 有限区間における不連続コスト関数を有する時間危機問題に対して、2次必要最適性条件が確立された。
• 時間再パラメータ化と動的拡張を用いて、時間危機問題が古典的マーヤー制御問題に変換された。
• 共役系は、乗数ベクトル γ を含む、交差時刻 τ_j におけるジャンプ条件を有する微分方程式を満たす。
• 一般化されたラグランジュ乗数 γ および ν がポントレージン乗数に対応することが示され、定数倍を除いて非特異的かつ一意的である。
• 2次形式 Ω[1,γ,ν](δu,δτ) は臨界円錐 C(ū,τ̄) 上で非負であり、2次必要条件が保証される。
• ハミルトニアン H₀(·) は最適軌道に沿って一定である。これは最適性構造から導かれる重要な性質である。