[論文レビュー] Second order asymptotics for Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential

Ryoki Fukushima|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、$d < \beta < d+2$ のべき則減衰 $|x|^{-\beta}$ を持つ重尾のポアソン型ポテンシャルにおけるブラウン運動のフェインマン・カック関数の2次漸近挙動を確立する。変分法と大偏差技法を用いて、生存確率および関連する確率的シュレーディンガー作用素の統合密度の状態の2次まで正確なモーメントおよびほとんど確実な漸近挙動を導出する。

ABSTRACT

We consider the Feynman-Kac functional associated with a Brownian motion in a random potential. The potential is defined by attaching a heavy tailed positive potential around the Poisson point process. This model was first considered by Pastur (1977) and the first order term of the moment asymptotics was determined. In this paper, both moment and almost sure asymptotics are determined up to the second order. As an application, we also derive the second order asymptotics of the integrated density of states of the corresponding random Schrödinger operator.

研究の動機と目的

• 重尾のポアソン型ポテンシャルにおけるブラウン運動のフェインマン・カック関数の2次漸近挙動を導出すること。
• パスタールの1次モーメント漸近挙動を2次補正項を含む形に拡張すること。
• 生存確率のほとんど確実な漸近挙動を2次まで確立すること。
• 対応する確率的シュレーディンガー作用素の統合密度の状態の2次漸近挙動を特定すること。

提案手法

• 大きなボックスにおける主固有値を分析するために変分法の使用。
• ポテンシャルの尾部挙動を制御するために大偏差技法の応用。
• 生存確率とモーメント母関数を結びつけるためにフェインマン・カック公式の使用。
• ポアソン点過程のモーメント母関数（特性関数および積率を介して）を用いて分散および高次モーメントの計算。
• テイラー展開および局在化技術を用いて、関連領域における $V_\omega(x)$ と $V_\omega(0)$ の差の推定。
• スペクトル比較を用いて、統合密度の状態の問題を有限ボックスにおける固有値推定に還元。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重尾のポアソン型ポテンシャルにおけるフェインマン・カック関数のモーメント漸近挙動の2次補正項は何か？
• RQ2 ブラウン運動の典型的な経路は重尾ポテンシャル中でどのように振る舞い、生存確率のほとんど確実な漸近挙動は何か？
• RQ3 このようなポテンシャルを持つ確率的シュレーディンガー作用素の統合密度の状態の2次漸近挙動は何か？
• RQ4 ポテンシャル寄与の分散は、モーメント漸近挙動の2次項にどのように影響を与えるか？

主な発見

• フェインマン・カック関数のモーメントの2次漸近挙動は、$\exp\left\{ -a_1 t^{d/\beta} - a_2 t^{d/\beta} (\log t)^{-\gamma} + o(t^{d/\beta} (\log t)^{-\gamma}) \right\}$ として導出され、$a_1, a_2, \gamma$ は明示的な定数である。
• 生存確率のほとんど確実な漸近挙動が、2次までモーメント漸近挙動と一致することが示され、典型的な経路の挙動が確認された。
• 統合密度の状態の2次補正項は、大きなボックスにおける固有値推定を通じて導出され、$\log t$ 依存の補正項が現れる。
• 局在化および $|x|^{-\beta}$ の減衰特性のおかげで、ポテンシャル寄与の分散は2次項において無視可能であることが示された。
• 大きなボックス $(-t,t)^d$ における主固有値は、$(\log t)^{-(\beta - d)/d}$ のオーダーで減衰する項によって上から抑えられ、これが統合密度の状態を制御する。