[論文レビュー] Second order backward SDE with random terminal time

Yiqing Lin, Zhenjie Ren+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ボラティリティの不確実性下で、経路に依存する設定への非線形マルティングルール表現の拡張を伴い、確率的終了時刻を伴う2階後向きSDE（2BSDE）の完全な適切性理論を確立する。2BSDEの解が、ロバストなスーパーヘッジイング価格に対応することを証明し、準確確率的確率解析を通じて、完全非線形楕円型経路依存PDEの連続的解と結びつける。

ABSTRACT

Backward stochastic differential equations extend the martingale representation theorem to the nonlinear setting. This can be seen as path-dependent counterpart of the extension from the heat equation to fully nonlinear parabolic equations in the Markov setting. This paper extends such a nonlinear representation to the context where the random variable of interest is measurable with respect to the information at a finite stopping time. We provide a complete wellposedness theory which covers the semilinear case (backward SDE), the semilinear case with obstacle (reflected backward SDE), and the fully nonlinear case (second order backward SDE).

研究の動機と目的

• 終了時刻が確率的である場合への非線形マルティングルール表現定理の拡張。
• 確率的時間枠設定下における2階後向きSDE（2BSDE）の完全な適切性理論の構築。
• ボラティリティの不確実性下での2BSDEの解とロバストスーパーヘッジイング問題との関連の確立。
• 2BSDEと完全非線形楕円型経路依存PDEの連続的解との間の関係の確立。
• 確率的停止時刻を伴う完全非線形2BSDEの文脈において、半線形および反射型BSDE枠組みの一般化。

提案手法

• 連続パスの標準的空間上で、標準過程$X$を用い、ブラウン運動とボラティリティに関する制御を伴う2BSDEを定式化。
• 解の準確確率的表現を保証するため、特異なセミマルティンググール測度の族$\mathcal{P}$を用い、モデル不確実性下でのロバスト性を確保。
• ドリフト項$F(t, Y_t, Z_t, \hat{\sigma}_t)$、確率積分$Z \cdot X$、補正スーパーマルティングルール$U^\mathbb{P}$を含む表現を定義。
• 一意性と完全非線形性を保証するため、最小性条件$\sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[U^\mathbb{P}_T] = 0$を課す。
• ボラティリティ不確実性下でのスーパーヘッジイング問題に理論を適用し、$\mathcal{P}^{\rm UVM}$はボラティリティが$[\underline{\sigma}, \overline{\sigma}]$に属する測度の集合である。
• 2BSDEと経路依存HJB方程式の連続的解との関係を用い、値関数を$\mathcal{Q}$上での$ru - \sup_{\gamma \in [\underline{\sigma}, \overline{\sigma}]} \frac{1}{2}\gamma^2 \partial^{2}_{\omega\omega}u = 0$の解として特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形マルティングルール表現定理は、終了時刻が確率的である場合にどのように拡張可能か？
• RQ2 終了時刻が停止時刻である場合に、2階後向きSDEの適切性理論はどのように構築されるか？
• RQ3 確率的時間枠を伴う2BSDEの解は、ボラティリティの不確実性下でのロバストスーパーヘッジイングとどのように関連するか？
• RQ4 ボラティリティの不確実性下での確率的制御問題の値関数は、経路依存PDEの連続的解として特徴付けられるか？
• RQ5 値関数が一様連続であり、経路依存HJB方程式を満たすために必要な条件は何か？

主な発見

• 確率的終了時刻$\mathrm{H}_Q$を伴う2BSDEの解は、$\mathcal{P}^{\rm UVM}$-準確確率的に、$Y_{t \wedge \mathrm{H}_Q} = \xi - \int_{t \wedge \mathrm{H}_Q}^{\mathrm{H}_Q} rY_s ds - \int_{t \wedge \mathrm{H}_Q}^{\mathrm{H}_Q} Z_s \cdot dX_s + \int_{t \wedge \mathrm{H}_Q}^{\mathrm{H}_Q} dK_s$で与えられる。
• 初期値$Y_0$は$u_0 = \sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}^{\rm UVM}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[Y_0]$を満たし、これはクレーム$\xi$のロバストスーパーヘッジイング価格に等しい。
• 値関数$u_0$は、$\mathcal{Q}$上での経路依存HJB方程式$ru - \sup_{\gamma \in [\underline{\sigma}, \overline{\sigma}]} \frac{1}{2}\gamma^2 \partial^{2}_{\omega\omega}u = 0$の連続的解であり、$u = \xi$ on $\partial\mathcal{Q}$を満たす。
• 解$Y_0$は、各$\mathbb{P} \in \mathcal{P}^{\rm UVM}$下での関連するBSDEの$\mathbb{P}$-ほとんど確実な解の本質的上限として特徴付けられる。
• 非線形期待値下での到達時刻$\mathrm{H}^x_Q$の一様連続性は、連続的解特徴付けに必要な正則性を保証する。
• 理論は、半線形BSDE、反射型BSDE、完全非線形2BSDEを確率的時間枠下で統合する。