[論文レビュー] Second order backward stochastic differential equations and fully non-linear parabolic PDEs

Patrick Cheridito, H. Meté Soner+2 more|ArXiv.org|Sep 14, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次確率的後向き確率微分方程式（2BSDE）を用いて、完全非線形放物型PDEの解に対する確率的表現を確立する。可視解の比較原理および単調性条件の下で、2BSDEの解が一意に定まり、それに対応するPDEの可視解となることを証明し、このようなPDEに対してモンテカルロ数値解法を可能にする。

ABSTRACT

We introduce a class of second order backward stochastic differential equations and show relations to fully non-linear parabolic PDEs. In particular, we provide a stochastic representation result for solutions of such PDEs and discuss Monte Carlo methods for their numerical treatment.

研究の動機と目的

• 完全非線形放物型PDEの解に対する確率的表現を、2次後向き確率微分方程式（2BSDE）を用いて確立すること。
• 可視解の比較原理および単調性条件の下で、2BSDEの解が関連する完全非線形PDEの可視解に対応することを証明すること。
• 線形の2次項に制限される半線形および準線形の場合に限らない、確率的方程式とPDEとの間の関係を拡張すること。
• 2BSDEの定式化を通じて、完全非線形PDEのモンテカルロ法による数値的解法を可能にすること。

提案手法

• 拡散過程X_tに駆動される適応過程（Y, Z, Γ, A）を有する2次後向き確率微分方程式（2BSDE）を定式化する。
• 伊藤の補題を用いて、関連PDEに対してC^3解vが存在する場合、(v(t,X_t), Dv(t,X_t), D^2v(t,X_t), L Dv(t,X_t))が2BSDEを満たすことを示す。
• PDEに対して可視解理論を適用し、PDEの値関数に対して比較原理が成り立つものと仮定する。
• 解の一意性と安定性を保証するため、生成子fに対してYにおけるリプシッツ連続性およびΓにおける単調減少性を課す。
• 解過程Y_tがv(t,X_t)に等しいという確率的表現を導出し、2BSDEの解とPDEの解を結びつける。
• 領域の境界で停止時刻を導入することで境界値問題に適応化し、端末条件をそれに合わせて修正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次後向き確率微分方程式（2BSDE）は、完全非線形放物型PDEの解に対して確率的表現を提供できるか？
• RQ2 2BSDEの解が関連PDEの可視解に一意に対応するための条件は何か？
• RQ3 2BSDEを介してモンテカルロ法を用いて完全非線形放物型PDEを数値的に解くにはどうすればよいか？
• RQ4 2BSDEの解の存在および一意性を保証するための、生成子fおよび端末条件gに必要な正則性および構造的条件は何か？
• RQ5 2BSDEフレームワークは、側面境界条件を有する境界値問題へ拡張可能か？

主な発見

• 関連PDEが比較原理のもとで一意な連続可視解を有する場合、2BSDEは高々一つの解しか持たず、一意性が保証される。
• 2BSDEの解過程Y_tは、Y_t = v(t, X_t)を満たす。ここでvはPDEの可視解である。
• PDEに対してC^3解が存在することは、2BSDEの解の存在を示す十分条件を提供する。
• 解の一意性および安定性を保証するため、生成子fはYに関してリプシッツ連続であり、Γに関して単調減少でなければならない。
• 2BSDEフレームワークにより、完全非線形PDEのモンテカルロシミュレーションによる数値的近似が可能になる。
• 領域境界で停止時刻を組み込むことで、境界値問題への応用が可能となり、2BSDEとPDE解の対応関係が保たれる。