[論文レビュー] Second-order BSDEs with general reflection and Dynkin games under uncertainty

Anis Matoussi, Lambert Piozin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ボラティリティの不確実性下で上界および下界のバリアを伴う二重に反映された2次確率的微分方程式（DRBSDE）の適切な定式化理論を確立し、既存の反射付き2BSDEに関する先行研究を拡張する。この研究では、これらのDRBSDEを不確実性のあるDynkinゲームに関連させ、ボラティリティの不確実性が存在する市場におけるアメリカンゲーム・オプションのスーパーヘッジおよびサブヘッジ価格を提供する。

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold. First, we extend the results of (32) concerning the existence and uniqueness of second-order reflected 2BSDEs to the case of upper obstacles. Then, under some regularity assumptions on one of the barriers, similar to the ones in (9), and when the two barriers are completely separated, we provide a complete wellposedness theory for doubly reflected second-order BSDEs. We also show that these objects are related to non-standard optimal stopping games, thus generalizing the connection between DRBSDEs and Dynkin games first proved by Cvitanic and Karatzas (10). More precisely, we show that the second order DRBSDEs provide solutions of what we call uncertain Dynkin games and that they also allow us to obtain super and subhedging prices for American game options (also called Israeli options) in financial markets with volatility uncertainty. �

研究の動機と目的

• 2次反射付き2BSDEの解の存在および一意性に関する結果を、上位の障害物が存在する場合にまで拡張すること。
• 2つのバリアが完全に分離されている場合に、二重に反射された2次BSDEの完全な適切な定式化理論を構築すること。
• モデルの不確実性下での非標準的最適停止ゲームと2次確率的DRBSDEとの間の関係を確立すること。
• 理論を応用して、ボラティリティの不確実性が存在する金融市場におけるアメリカンゲーム・オプション（イvリット・オプション）のスーパーヘッジおよびサブヘッジ価格を導出すること。

提案手法

• 適切な正則性条件の下で比較原理を用いて、既存の2次反射付き2BSDEに関する結果を上位の障害物を含む形に拡張する。
• 解の適切な定式化解析に十分な滑らかさを保証するため、1つのバリアに対して(9)と同様の正則性仮定を課す。
• 上位および下位の両方のバリアを同時に取り扱うために、二重反射法を適用し、解がバリア領域内に留まるように保証する。
• 非線形期待値枠組みを用いてボラティリティの不確実性をモデル化し、2次確率的BSDE理論と整合性を持つ。
• 検証による議論を通じて、DRBSDEの解と不確かなDynkinゲームの価値過程との間の関係を確立する。
• DRBSDEの解をボラティリティの不確実性下でのオプション価格の上界および下界として解釈することで、アメリカンゲーム・オプションのヘッジ境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上界および下界のバリアを伴う2次確率的二重に反射されたBSDEが、どのような条件下で一意な解を有するか。
• RQ2 2次確率的BSDEの理論は、反射設定における上位障害物をどのように扱うことができるか。
• RQ3 2次確率的DRBSDEとモデル不確実性下での最適停止ゲームとの間にはどのような関係があるか。
• RQ4 2次確率的DRBSDEは、ボラティリティの不確実性が存在する市場におけるアメリカンゲーム・オプションのスーパーヘッジおよびサブヘッジ戦略とどのように関係するか。
• RQ5 2次確率的DRBSDEの解を不確かなDynkinゲームの価値として解釈することは可能か。

主な発見

• 2つのバリアが完全に分離されており、かつ1つのバリアが(9)と同様の正則性条件を満たしている場合、2次確率的二重に反射されたBSDEの解の存在および一意性が確立される。
• 2次確率的DRBSDEの解が不確かなDynkinゲームの価値過程に対応することが示され、古典的なCvitanic-Karatzasの関係を一般化する。
• DRBSDEフレームワークは、ボラティリティの不確実性下でのアメリカンゲーム・オプションのスーパーヘッジおよびサブヘッジ価格を強固に特徴づける。
• 理論は、ボラティリティ過程におけるモデルの不確実性を組み込むことで、古典的なDRBSDEおよびDynkinゲームの関係を2次設定に拡張する。
• 二重反射機構のおかげで解はバリア領域内に留まるため、ゲームの停止制約と整合性が保たれる。
• 結果は非線形期待値枠組みの下で得られており、特定の確率測度を仮定することなくボラティリティの不確実性を扱える。