[論文レビュー] Second order difference approximation for a class of Riesz space fractional advection-dispersion equations with delay

Mahdi Saedshoar Heris, Mohammad Javidi|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Riesz空間分数マクレッド分散方程式に遅れを含む（RFADED）方程式を解くために、分数階後退差分公式（FBDF）およびシフトド・グリュンバルト差分（WSGD）法に基づく2次精度の有限差分スキームを提案する。この手法は条件付き安定性および収束性を示し、精度は$\mathcal{O}(\kappa^2 + h^2)$を達成する。また、Mittag-Leffler関数を用いた解析的解が導出された。数値結果により、さまざまな分数マクロスおよび遅延パラメータに対して高い精度と効率性が確認された。

ABSTRACT

In this paper, we propose numerical scheme for the Riesz space fractional advection-dispersion equations with delay (RFADED). Firstly, analytical solution for RFADED in terms of the functions of Mittag-Leffler type is derived. Secondly, the fractional backward differential formulas (FBDF) method and shifted Grünwald method are introduced to the Riesz space fractional derivatives. Next, stability and convergency of these methods have been proved. Thirdly, Crank-Nicolson scheme for solving this problem is proposed. We prove that the scheme is conditionally stable and convergent with the order accuracy of ${ m O}({κ^2} + {h^2})$. Finally, some numerical results are given to demonstrate that presented method is a computationally efficient and accurate method for solving RFADED.

研究の動機と目的

• Riesz空間分数マクレッド分散方程式に遅れを含む（RFADED）方程式を解く数値スキームを開発すること。これは、分数マクロス微分と時間遅れの組み合わせにより、複雑である。
• Mittag-Leffler関数を用いてRFADEDの解析的解を導出することにより、数値結果の理論的妥当性を検証すること。
• 分數階後退差分公式（FBDF）およびシフトド・グリュンバルト差分（WSGD）を用いて、空間的Riesz分数マクロス微分に対して2次精度の有限差分法を確立すること。
• 提案されたCrank-Nicolson型スキームの条件付き安定性および収束性を証明し、$\mathcal{O}(\kappa^2 + h^2)$の精度を示すこと。
• さまざまな分数マクロスおよび遅延パラメータを用いた数値実験により、手法の計算効率性および精度を示すこと。

提案手法

• 空間的Riesz分数マクロス微分は、空間方向で2次精度を達成するシフトド・グリュンバルト差分（WSGD）法を用いて近似する。
• 時間分数マクロス微分（$\gamma \in (0,1)$）は、時間方向でも2次精度を保証する分數階後退差分公式（FBDF）法を用いて近似する。
• FBDFを時間方向、WSGDを空間方向に組み合わせることでCrank-Nicolson型スキームを構築し、各時間ステップで線形方程式系を解けるようにする。
• 離散エネルギー法を用いて、時間ステップ制限の下で条件付き安定性を厳密に証明した。
• 遅延項は、初期時間区間$t \in [0, \tau]$において初期履歴関数$g(x,t)$を明示的に扱うことにより処理し、標準的なRFADEに還元する。
• ラプラス変換を用いて解析的解を導出し、Mittag-Leffler関数を用いて表現することで、数値結果の妥当性を確認するための基準を提供した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FBDFおよびWSGD法を用いて、Riesz空間分数マクレッド分散方程式に遅れを含む（RFADED）方程式に対して2次精度の有限差分スキームを構築できるか？
• RQ2 提案されたCrank-Nicolson型スキームの安定性および収束性はどのように振る舞い、その有効性を保証する条件は何か？
• RQ3 分数マクロス$\alpha$, $\beta$, $\gamma$および遅延$\tau$の異なる値に対して、提案手法の精度および計算効率はどのように評価できるか？
• RQ4 RFADEDの解析的解はMittag-Leffler関数を用いて表現可能か？また、数値結果と比較してその妥当性はどのように確認できるか？
• RQ5 本手法の空間および時間方向の収束速度は何か？また、標準的なL1/グリュンバルト近似と比較してどうなるか？

主な発見

• 提案されたCrank-Nicolsonスキームは、時間方向（$\kappa^2$）および空間方向（$h^2$）の両方で2次精度を達成し、条件付き安定かつ収束性を示し、収束速度は$\mathcal{O}(\kappa^2 + h^2)$を達成した。
• 数値実験の結果、$\alpha = 0.5$, $\beta = 1.6$, $\gamma = 0.2$の条件下で空間方向の収束次数は約2.0であり、$h$を半分にした際、誤差は$1.4195 \times 10^{-4}$から$9.0898 \times 10^{-6}$に減少した。
• $\alpha = 0.2$, $\beta = 1.9$, $\gamma = 0.5$の条件下で、$h = 1/128$における空間収束次数は2.00に達し、2次精度が確認された。
• 時間方向でも2次収束性を維持しており、さまざまなパラメータ設定において収束次数は1.85～2.02の範囲にあり、時間方向の精度が安定していることが示された。
• 例2における絶対誤差は、$h = \kappa = 1/16$では常に$6.1 \times 10^{-4}$未満であり、$h = \kappa = 1/128$では$1.03 \times 10^{-5}$にまで減少した。これにより、高い精度が確認された。
• RFADEDの解析的解はMittag-Leffler関数を用いて成功裏に導出され、数値スキームの妥当性を検証するための正確な基準を提供した。