[論文レビュー] Second order difference equations and discrete orthogonal polynomials of two variables

Yuan Xu|ArXiv.org|Jul 27, 2004

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、重み関数 W に関して差分作用素 𝒟 が自己随伴であるような条件を確立することにより、2変数における2階偏差分方程式が離散直交多項式を解として持つための特徴付けを提示する。主な結果として、単体や長方形などの格子集合上に存在する、古典的離散直交多項式（ハイゼン、マイクサー、クラフトチュク、シャーラーおよびそれらの積型）に対応する8つのクラスの差分方程式が同定される。これは、係数関数にやや弱い構造的制約を課した場合に成立する。

ABSTRACT

The second order partial difference equation of two variables $ \CD u:= A_{1,1}(x) Δ_1 abla_1 u + A_{1,2}(x) Δ_1 abla_2 u + A_{2,1}(x) Δ_2 abla_1 u + A_{2,2}(x) Δ_2 abla_2 u & \qquad \qquad \qquad \qquad + B_1(x) Δ_1 u + B_2(x) Δ_2 u = λu, $ is studied to determine when it has orthogonal polynomials as solutions. We derive conditions on $\CD$ so that a weight function $W$ exists for which $W \CD u$ is self-adjoint and the difference equation has polynomial solutions which are orthogonal with respect to $W$. The solutions are essentially the classical discrete orthogonal polynomials of two variables.

研究の動機と目的

• 2変数における2階偏差分方程式が直交多項式解をもつための条件を特定すること。
• 重み関数 W が存在し、W𝒟 が離散内積に関して正式に自己随伴となるような差分作用素のクラスを同定すること。
• 多項式解が直交するように保証するための、重み関数 W と差分作用素 𝒟 間の一貫性条件を確立すること。
• 積型およびハイゼン型システムを含む、2変数における古典的離散直交多項式を生じるすべての差分方程式を分類すること。
• 係数関数にやや弱い構造的仮定を課した場合、直交多項式解をもつ他の2階差分方程式は存在しないことを示すこと。

提案手法

• 格子 ℤ² 上の前進差分作用素 Δi および後退差分作用素 ∇i を用いて、2階偏差分作用素 𝒟 を定義する。
• 混合2階係数が A₁₂ − A₂₁ ∈ Π₁²（一次多項式）を満たすように制約を課すことで、二次部分の対称性を保証する。
• 重み関数 W が存在し、W𝒟 が離散内積に関して正式に自己随伴であるための必要十分条件を導出する。
• 差分方程式に対する W 一貫性の概念を導入し、作用素と整合的であるように、重みが定義域の境界で消えるように保証する。
• 自己随伴性および一貫性条件を用いて、多項式解が存在し、重み W に関して直交することを証明する。
• 係数多項式 Aᵢⱼ および Bᵢ の分析を通じて、得られた方程式を分類し、直交多項式の8つの標準的族を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数関数 Aᵢⱼ および Bᵢ がどのような条件下で、2階偏差分方程式 𝒟u = λu が直交多項式解をもつのか。
• RQ2 離散内積に関して作用素 W𝒟 が自己随伴となるような重み関数 W が存在する条件は何か。
• RQ3 多項式解の直交性を保証するための、重み関数 W と差分作用素 𝒟 間の明確な関係は何か。
• RQ4 どのような古典的離散直交多項式（2変数）がこのような方程式の解として現れ、どの格子領域に定義されるか。
• RQ5 やや自然な仮定の下で、同定された族以外の2階差分方程式が直交多項式解をもつ可能性はあるか。

主な発見

• 本稿では、2変数における2階偏差分方程式が直交多項式解をもつ8つの異なるクラスを同定した。
• これらの解は、古典的離散直交多項式に対応する：単体 V = {x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₁ + x₂ ≤ N} 上のハイゼン多項式、および長方形領域 V = {0 ≤ x₁ ≤ M, 0 ≤ x₂ ≤ N} 上の積型多項式（マイクサー、クラフトチュク、シャーラーおよびそれらの混合形）。
• 各々の差分方程式に対して、作用素 W𝒟 が自己随伴であり、多項式解が重み W に関して直交するように、重み関数 W が明示的に構成された。
• 自己随伴性および W 一貫性の条件は、直交多項式解の存在にとって必要かつ十分である。
• 係数関数に A₁₂ − A₂₁ ∈ Π₁²（一次多項式）という仮定を課した場合、直交多項式解をもつ他の非自明な差分方程式は存在しないことが示された。
• 単体上での離散ハイゼン多項式は、三角形上でのジャコビ型多項式の離散版であることが示されたが、円板上での直交多項式に対応する離散版は存在しない。