[論文レビュー] Second-order growth, tilt stability, and metric regularity of the subdifferential

Dmitriy Drusvyatskiy, Boris S. Mordukhovich+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 28被引用数 43

ひとこと要約

本稿は、Asplund空間におけるprox-regularかつ部分微分連続関数に対して、2次成長条件、制限部分劣微分の度合いの正則性・部分正則性、および局所最小解の傾き安定性の間の明確で定量的な関係を確立する。均一な二次的成長が部分劣微分の強い度合いの正則性と同値であることを証明し、明示的なモジュラス推定値を提示する。また、傾き安定性にあたって一般化ヘッシアンの正定値性が不要であることを示し、非滑らかな最適化における古典的仮定に挑戦する。

ABSTRACT

This paper sheds new light on several interrelated topics of second-order variational analysis, both in finite and infinite-dimensional settings. We establish new relationships between second-order growth conditions on functions, the basic properties of metric regularity and subregularity of the limiting subdifferential, tilt-stability of local minimizers, and positive-definiteness/semidefiniteness properties of the second-order subdifferential (or generalized Hessian).

研究の動機と目的

• Asplund空間における、prox-regularかつ部分微分連続関数に対して、2次的成長と制限部分劣微分の度合いの正則性・部分正則性との間の定量的でモジュラスに基づく関係を確立すること。
• C²滑らか関数に既知の二次的成長と傾き安定性の同値性を、prox-regularかつ部分微分連続関数へと拡張すること。
• 非滑らか最適化における傾き安定性にあたって、一般化ヘッシアンの正定値性が必要条件であるかどうかを検討し、古典的2次最適性条件に挑戦すること。
• 度合いの正則性と成長条件を用いた、傾き安定性の新たな特徴付けを提供し、有限次元および凸設定を超えた応用を可能とすること。
• 先行研究における予想を解消するため、既存の結果よりもタイトなモジュラス推定値を提示すること。

提案手法

• Asplund空間におけるMordukhovichの枠組みに基づく制限部分劣微分理論と一般化ヘッシアンの構築を用いる。
• 部分劣微分∂fの強い度合いの正則性の概念を用い、明示的なモジュラス関係を伴う均一な二次的成長を特徴付ける。
• MordukhovichとNghia（2018）が導入した組み合わせ的2次部分劣微分の概念を用い、無限次元設定への結果の拡張を図る。
• 2次部分劣微分の和則則を用いて、完全アーメン関数の解析と反例の構築を行う。
• 臨界錐や水平部分劣微分といった変分解析の道具を用い、最適性条件を検証する。
• 先行研究を上回るモジュラス推定値を導出し、特に非凸的かつ非滑らかな設定において改善を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 prox-regularかつ部分微分連続関数がAsplund空間に属する場合、制限部分劣微分の強い度合いの正則性は、均一な二次的成長と同値であるか？
• RQ2 非滑らか最適化において、傾き安定性のための一般化ヘッシアンの正定値性を緩和できるか？
• RQ3 非凸的および無限次元設定において、二次的成長と度合いの正則性の間のモジュラス推定値は、既存の境界を改善するか？
• RQ4 成長、部分正則性、傾き安定性の関係は、C²滑らか関数および凸関数を超えてどのように拡張されるか？
• RQ5 部分劣微分連続性の仮定は、二次的成長と強い度合いの正則性の同値性に必要か？

主な発見

• 下半連続関数の均一な二次的成長は、Asplund空間においてその制限部分劣微分の強い度合いの正則性と同値であり、明示的なモジュラス関係が成立する。
• 一般化ヘッシアンの半正定値性は、傾き安定性のための必要条件ではないことが、ヘッシアンが不定な完全アーメン関数の反例によって示された。
• 本稿で導出されたモジュラス推定値は、AragónとGeoffroy（2013）の結果を上回り、彼らの予想を肯定的に解消する。
• 二次的成長と傾き安定性の同値性は、部分劣微分連続性を要件とせず、Asplund空間におけるprox-regularかつ部分微分連続関数へと拡張可能である。
• 既知のC²滑らか関数に関する特徴付けを、より広い非滑らか関数のクラスへ一般化し、2次変分解析の統一的枠組みを提供する。
• 研究により、一般化ヘッシアンの正定値性が傾き安定性に必要でないことが確認され、非滑らか最適化における古典的2次最適性条件に挑戦する。