[論文レビュー] Second order linear differential equations with analytic uncertainties: stochastic analysis via the computation of the probability density function

Marc Jornet, Julia Calatayud+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2019

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ひとこと要約

本稿では、解析的確率的係数を伴う2階線形微分方程式に対する、フロベニウス法を用いた新しい確率的解析フレームワークを提示する。平均二乗収束するべきべき級数解を計算する。期待値に基づく近似により解の確率密度関数を導出し、Lipschitz条件のもとで指数的収束を示し、点収束および全 Variation 収束を証明する。また、制御変数を組み込んだモンテカルロアルゴリズムを実装し、効率的な密度推定を実現する。

ABSTRACT

This paper concerns the analysis of random second order linear differential equations. Usually, solving these equations consists of computing the first statistics of the response process, and that task has been an essential goal in the literature. A more ambitious objective is the computation of the solution probability density function. We present advances on these two aspects in the case of general random non-autonomous second order linear differential equations with analytic data processes. The Fr\\"obenius method is employed to obtain the stochastic solution in the form of a mean square convergent power series. We demonstrate that the convergence requires the boundedness of the random input coefficients. Further, the mean square error of the Fr\\"obenius method is proved to decrease exponentially with the number of terms in the series, although not uniformly in time. Regarding the probability density function of the solution at a given time, we rely on the law of total probability to express it in closed-form as an expectation. For the computation of this expectation, a sequence of approximating density functions is constructed by reducing the dimensionality of the problem using the truncated power series of the fundamental set. We prove several theoretical results regarding the pointwise convergence of the sequence of density functions and the convergence in total variation. The pointwise convergence turns out to be exponential under a Lipschitz hypothesis. As the density functions are expressed in terms of expectations, we propose a symbolic Monte Carlo sampling algorithm for their estimation. This algorithm is implemented and applied on several numerical examples designed to illustrate the theoretical findings of the paper.

研究の動機と目的

• 1階統計量を超えて、解析的確率的係数を伴う2階線形微分方程式における不確実性の定量化を進める。
• 与えられた時刻における解過程の確率密度関数（PDF）を計算する。これは平均と分散よりも包括的な確率的特徴付けである。
• モンテカルロサンプリングと分散低減を組み合わせた、数値的に効率的かつ理論的に裏付けられた解PDF推定アルゴリズムの開発。
• 切断されたべき級数から導かれる近似密度関数の系列に対する、点収束および全 Variation 収束の理論的保証の確立。
• 解の密度推定において、元の確率過程に不連続性や高分散が生じる場合の計算課題の解決。

提案手法

• 確率的2階常微分方程式の解として、平均二乗意味でのフロベニウス法を用いて確率的べき級数解を構築する。
• べき級数解を切断して、有限次元近似 $X^N(t)$ を得る。その確率密度関数は期待値として解析的に表現される：$f_{X^N(t)}(x) = \mathbb{E}[Z^N(x,t)]$。
• 全確率の法則を用いて、解の確率密度関数を確率的初期条件および係数の上での期待値として表現する。
• 基本解集合の次元削減によって、近似密度関数の系列を構築する。
• 不連続性や微分不能性を平滑化せずに扱える、粗いモンテカルロアルゴリズムを用いて $f_{X^N(t)}(x)$ を推定する。
• サンプリング分散を低減するために、制御変数法を適用し、計算効率を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的2階線形常微分方程式の解の確率密度関数は、確率的係数および初期条件の上での期待値として、閉形式で計算可能か？
• RQ2 切断されたフロベニウス級数から導かれる近似密度関数の系列の理論的収束性は何か？
• RQ3 密度近似の点収束が指数的速さで発生する条件は何か？
• RQ4 元の確率過程が滑らかでない、または重尾分布を示す場合に、モンテカルロサンプリングを効率的かつ正確に解PDF推定に適用する方法は何か？
• RQ5 制御変数のような分散低減技術が、解PDF推定におけるモンテカルロ推定量の効率をどの程度向上できるか？

主な発見

• フロベニウス法は、確率的係数が $L^2(\Omega)$ で有界である限り、平均二乗収束するべきべき級数解をもたらす。
• フロベニウス近似の平均二乗誤差は、項数が増加するにつれて指数的に減少するが、時間に一様ではない。
• 適切なネミツキー作用素の条件のもとで、近似密度関数の系列 $f_{X^N(t)}(x)$ は真の解PDF $f_{X(t)}(x)$ に点収束する。
• 元の確率過程がリプシッツ条件を満たす場合、密度近似の指数的点収束が達成される。
• 全 Variation 収束および $L^1(\mathbb{R})$ 収束は、点収束に起因し、これはヘルンジャー距離における収束と同値である。
• 制御変数法は、サンプル数を増やさずに、密度推定量のサンプリング分散を顕著に低減し、計算効率を向上させる。