[論文レビュー] Second order Lyapunov exponents for parabolic and hyperbolic Anderson models

Raluca M. Balan, Jian Song|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2017

Random Matrices and Applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の次元 $d$ において、時間白色で空間的に一様なガウスノイズで駆動される双曲型および放物型アンダーソンモデルの2次リャプノフ指数の深い解析的関係を確立する。統一された変分表現およびエネルギー汎関数のスケーリング性を活用することで、2つの空間的自己共分散構造（i）非負で局所可積分なスペクトル測度、（ii）$d=1$ における $1/4 < H < 1/2$ の分数 Browm運動）の下で、両モデルの上側2次リャプノフ指数の正確な表現が得られ、最近の放物型の場合の結果が双曲型設定へと拡張される。

ABSTRACT

In this article, we consider the hyperbolic and parabolic Anderson models in arbitrary space dimension $d$, with constant initial condition, driven by a Gaussian noise which is white in time. We consider two spatial covariance structures: (i) the Fourier transform of the spectral measure of the noise is a non-negative locally-integrable function; (ii) $d=1$ and the noise is a fractional Brownian motion in space with index $1/4

研究の動機と目的

• 任意の空間次元 $d$ における双曲型アンダーソンモデルの2次（上側）リャプノフ指数を計算すること。
• 双曲型および放物型アンダーソンモデルの解の2次モーメントのラプラス変換の間の顕著な類似性を確立すること。
• 2つの空間的自己共分散構造（i）非負で局所可積分なスペクトル測度、（ii）$d=1$ における $1/4 < H < 1/2$ の分数 Browm運動）の下で、両モデルの2次リャプノフ指数の計算を統一すること。
• 変分法およびエネルギー汎関数のスケーリング性を用いて、最近の放物型モデルに関する結果を双曲型の場合へと拡張すること。

提案手法

• ラプラス変換およびエネルギー汎関数 $\mathcal{E}(f,A)$ を用いて、解の2次モーメントの変分表現を導出する。
• リーマン型自己共分散 $f(x) = |x|^{-\alpha}$（$0 < \alpha < 2$）に対してはスケーリング性 $\mathcal{E}(\theta f) = \theta^{2/(2-\alpha)} \mathcal{E}(f)$ を、分数ノイズ（$H \in (1/4, 1/2)$）に対しては $\mathcal{E}(\theta \Gamma) = \theta^{1/H} \mathcal{E}(\Gamma)$ を用いる。
• 共通の変分構造を通じて、双曲型および放物型モデルの2次モーメントのラプラス変換の等価性を確立する。
• [16] の方法を、共通するエネルギー汎関数およびスケーリング性を活用して、放物型から双曲型へと適用する。
• 分数 Browm 運動ノイズの $d=1$ の場合、スペクトル測度 $\mu(d\xi) = c_H |\xi|^{1-2H} d\xi$ が関数でないため、フーリエ解析および分布的正則化を用いる。
• スケーリング恒等式 $\mathcal{E}_2(\theta \Gamma) = \theta^{1/H} \mathcal{E}_2(\Gamma)$ を証明し、$\mathcal{E}_2(\Gamma)$ と $\mathcal{E}(\Gamma)$ の関係 $\mathcal{E}_2(\Gamma) = 2^{-(1-H)/H} \mathcal{E}(\Gamma)$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間白色で空間的に一様なガウスノイズを伴う任意の次元 $d$ における双曲型アンダーソンモデルの2次リャプノフ指数は何か？
• RQ2 同じノイズ条件下で、双曲型および放物型アンダーソンモデルの2次モーメントのラプラス変換はどのように比較できるか？
• RQ3 空間的自己共分散がリーマン核 $f(x) = |x|^{-\alpha}$（$0 < \alpha < 2$）である場合に、両モデルの2次リャプノフ指数を統一された変分法で計算できるか？
• RQ4 エネルギー汎関数 $\mathcal{E}(f,A)$ は空間的自己共分散変換に対してどのようなスケーリング性を示し、それが正確な指数計算を可能にするか？
• RQ5 空間的自己共分散が $d=1$ における分数 Browm 運動（$H \in (1/4, 1/2)$）である場合、双曲型モデルの2次リャプノフ指数はどのように振る舞うか？

主な発見

• 双曲型アンダーソンモデルの2次リャプノフ指数は、変分公式 $\mathcal{E}(f,A)$ を用いて正確に計算され、放物型の場合の既知の結果が拡張される。
• リーマン核自己共分散 $f(x) = |x|^{-\alpha}$（$0 < \alpha < 2$）に対しては、2次リャプノフ指数が $\theta^{2/(2-\alpha)} \mathcal{E}(f)$ に比例し、$\mathcal{E}(f)$ はエネルギー汎関数である。
• $d=1$ における分数 Browm 運動ノイズ（$H \in (1/4, 1/2)$）の場合、2次リャプノフ指数は $\theta^{1/H} \mathcal{E}(\Gamma)$ に比例し、$\Gamma$ はスペクトル分布を表す。
• 双曲型モデルのエネルギー汎関数 $\mathcal{E}_2(f)$ は $\mathcal{E}_2(\theta f) = \theta^{1/H} \mathcal{E}_2(f)$ を満たし、$\mathcal{E}_2(\Gamma) = 2^{-(1-H)/H} \mathcal{E}(\Gamma)$ により、2つのモデルがスケーリングを通じて結びつけられる。
• 同じノイズおよび自己共分散構造下で、双曲型および放物型モデルの2次モーメントのラプラス変換が同一であることが示され、深い構造的類似性が明らかになる。
• 本手法により、両モデルの2次リャプノフ指数の計算が統一され、広範な空間的自己共分散クラスに適用可能な一般枠組みが提供される。