[論文レビュー] Second Order Necessary Conditions for Optimal Control Problems on Riemannian Manifolds

Qing Cui, Li Deng+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上での最適制御問題について、双対方程式と変分解析を用いて曲率テンソルを組み込んだ2次必要・十分条件を確立する。自由端点および固定端点の両ケースについて、積分的および点ごとの2次条件を導出しており、標準的な制御手法が失敗する古典的測地線エネルギー最小化問題を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

This work is concerned with an optimal control problem on a Riemannian manifold, for which two typical cases are considered. The first case is when the endpoint is free. For this case, the control set is assumed to be a separable metric space. By introducing suitable dual equations, which depend on the curvature tensor of the manifold, we establish the second order necessary and sufficient optimality conditions of integral form. In particular, when the control set is a Polish space, the second order necessary condition is reduced to a pointwise form. As a key preliminary result and also an interesting byproduct, we derive a geometric lemma, which may have some independent interest. The second case is when the endpoint is fixed. For this more difficult case, the control set is assumed to be open in an Euclidian space. We obtain the second order necessary and sufficient optimality conditions, in which the curvature tensor also appears explicitly. Our optimality conditions can be used to recover the following famous geometry result: Any geodesic connecting two fixed points on a Riemannian manifold satisfies the second variation of energy; while the existing optimality conditions in control literatures fail to give the same result.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上を動く状態を持つ最適制御問題について、2次必要・十分最適性条件を構築すること、特に状態が曲がった多様体上を動く場合に焦点を当てる。
• 既存の制御理論的最適性条件が測地線エネルギー最小化を捉えきれないという限界を是正すること、これはリーマン幾何学における基本的結果である。
• 自由端点および固定端点の両ケースに2次解析を拡張し、制御集合の性質（可分距離空間対ユークリッド空間の開部分集合）に応じた異なる仮定を設けること。
• 曲率を含む幾何学的補題を導出し、主な最適性結果を超えて独立に興味を持つ可能性があること。
• 提案された条件が、測地線のエネルギーの2次変動を回復できることを示すこと、これは古典的制御理論的手法では捉えきれない結果である。

提案手法

• コスト汎関数の2次変動を特徴付けるために、リーマン曲率テンソルに依存する双対方程式を導入する。
• 状態多様体上の変分解析を用い、摂動された軌道の1次および2次変分方程式を含む。
• コスト汎関数および端点制約を制御摂動の2次までテイラー展開する。
• ラグランジュ乗数構造を用いて正規ケースと異常ケースを区別し、異常ケースでは端点制約の微分の核上でのヘッシアンの定符号性に依存する。
• コンパクト性および収束の議論（例：L²空間における弱収束）を用いて、摂動列の極限を取ることで必要条件を導出する。
• 指数写像およびその逆写像を用いて状態軌道の摂動を線形化し、曲率テンソルを含む2次項を導出可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御集合が一般の可分距離空間である場合に、リーマン多様体上での最適制御問題について2次最適性条件を導出可能か？
• RQ2 リーマン曲率テンソルは、多様体上での最適制御における2次必要・十分条件にどのように影響を与えるか？
• RQ3 提案された2次最適性条件は、測地線がエネルギー汎関数を最小化するという古典的結果を回復できるか？
• RQ4 端点制約（固定対自由）の役割は、2次条件の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 2次条件が積分形式から点ごとの形に簡略化されるのはどのような条件下か？

主な発見

• 自由端点の場合、2次必要・十分最適性条件が積分形で導出され、曲率テンソルが双対方程式に明示的に現れる。
• 制御集合がポーランド空間である場合、2次必要条件は点ごとの形に簡略化され、最適性条件の正則性が向上する。
• 固定端点の場合、制御集合がユークリッド空間の開部分集合であると仮定し、2次条件を確立した。この場合も、曲率テンソルがヘッシアン項に明示的に現れる。
• 提案された最適性条件は、測地線のエネルギーの2次変動を正確に回復でき、既存の制御理論的手法では捉えきれない結果を達成した。
• 解析から、端点写像のヘッシアンが端点制約の微分の核上で負定値でなければならないことが明らかになり、局所最適性が保証される。
• 副次的に、曲率テンソルを含む幾何学的補題が導出されたが、これは微分幾何学の文脈で独立に興味を持つ可能性がある。