[論文レビュー] Second order parameter-uniform convergence for a finite difference method for a singularly perturbed linear parabolic system

Franklin Victor, Joseph Paramasivam Mathiyazhagan+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2010

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 5被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、異なる小さなパrameterを有する線形特異摂動放物型系に対して、シシュキンの区分的均等メッシュ上での有限差分法を提示する。時間に関しては1次収束、空間に関してはすべての摂動パrameterに関して一様に2次収束を証明し、解の分解と離散最大原理の解析を丁寧に行うことで、空間方向における2次のパrameter一様収束を達成する。

ABSTRACT

A singularly perturbed linear system of second order partial differential equations of parabolic reaction-diffusion type with given initial and boundary conditions is considered. The leading term of each equation is multiplied by a small positive parameter. These singular perturbation parameters are assumed to be distinct. The components of the solution exhibit overlapping layers. Shishkin piecewise-uniform meshes are introduced, which are used in conjunction with a classical finite difference discretisation, to construct a numerical method for solving this problem. It is proved that the numerical approximations obtained with this method are first order convergent in time and essentially second order convergent in the space variable uniformly with respect to all of the parameters.

研究の動機と目的

• 複数の異なる小さなパrameterを有する特異摂動放物型系に対して、頑健な数値解法を開発すること。
• 異なる摂動パrameterを有する線形放物型反応拡散系における重なり合う境界層を扱うこと。
• 特に空間方向で2次収束を達成するように、時間および空間方向でパrameter一様収束を実現すること。
• スカラおよび2成分系における既知の結果を一般のn成分系に拡張すること。
• パrameterの大きさが著しく異なる場合でも、収束が一様に保たれることを示すこと。

提案手法

• 境界層に近接してメッシュが適応的に細分化される、シシュキンの区分的均等メッシュ上に古典的な有限差分離散化を適用する。
• 誤差を別々に解析できるように、解を滑らか成分と特異成分に分解する。
• 安定性と収束を保証するために、離散作用素に対して離散最大原理を確立する。
• 滑らか成分および特異成分の解に対して鋭い評価を用いて、局所切り捨て誤差を解析する。
• 数学的帰納法を用いて、特に補題7で特異成分の鋭い推定を導出する。
• 比較原理およびメッシュ依存の境界を用いて、定義域の異なる領域における離散解の誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シシュキンメッシュ上での有限差分法は、異なるパrameterを有する一般のn成分特異摂動放物型系に対して、空間方向で2次収束を達成できるか？
• RQ2 収束速度は、すべての小さな摂動パrameterεiに関して一様に有界か？
• RQ3 重なり合う境界層は収束挙動にどのように影響するか？ そして、区分的均等メッシュを用いて効果的に取り扱えるか？
• RQ4 与えられた仮定の下で、非対角行列を有する拡散行列を有する系に対しても、離散最大原理を拡張できるか？
• RQ5 時間および空間方向での収束の正確な次数は何か？ また、すべてのパrameter値に対して一様に証明可能か？

主な発見

• 本手法は、すべての摂動パrameterに関して、時間方向で1次収束を達成する。
• 本手法は、すべてのパrameterに関して、空間方向で2次収束を達成するが、対数因子が付加される。
• 誤差境界は ||U - u|| ≤ C N⁻² (ln N)³ で与えられ、パrameter一様収束が証明される。
• 数学的帰納法を用いて得られた特異成分の鋭い評価に、解析が依存している。
• 離散最大原理および比較原理が、非対称だがM行列に類似した構造を有する系に対しても、成功裏に拡張された。
• 適切なメッシュのグレーディングおよびパrameter依存の推定により、最小のパrameter εn が他のパrameterと著しく小さい場合でも、一様収束が維持される。