[論文レビュー] Second order statistics characterization of Hawkes processes and non-parametric estimation

Emmanuel Bacry, Jean–François Muzy|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 17被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、2次統計量が多変量 Hawkes プロセスのカーネル行列を、Wiener-Hopf 積分方程式系の一意解として完全に特徴づけることを確立している。著者らは、ガウス求積を用いた数値的逆解法に基づく非パラメトリック推定法を提案し、マーク付きおよび多変量 Hawkes プロセスの高速かつスケーラブルな推定を可能にした。金融時系列および地震データを用いた実験により、べき乗則および非正のカーネル関数を想定した有効性が検証された。

ABSTRACT

We show that the jumps correlation matrix of a multivariate Hawkes process is related to the Hawkes kernel matrix through a system of Wiener-Hopf integral equations. A Wiener-Hopf argument allows one to prove that this system (in which the kernel matrix is the unknown) possesses a unique causal solution and consequently that the second-order properties fully characterize a Hawkes process. The numerical inversion of this system of integral equations allows us to propose a fast and efficient method, which main principles were initially sketched in [Bacry and Muzy, 2013], to perform a non-parametric estimation of the Hawkes kernel matrix. In this paper, we perform a systematic study of this non-parametric estimation procedure in the general framework of marked Hawkes processes. We describe precisely this procedure step by step. We discuss the estimation error and explain how the values for the main parameters should be chosen. Various numerical examples are given in order to illustrate the broad possibilities of this estimation procedure ranging from 1-dimensional (power-law or non positive kernels) up to 3-dimensional (circular dependence) processes. A comparison to other non-parametric estimation procedures is made. Applications to high frequency trading events in financial markets and to earthquakes occurrence dynamics are finally considered.

研究の動機と目的

• 多変量 Hawkes プロセスの2次構造とそのカーネル行列との間の一対一対応を確立すること。
• カーネル関数のパラメトリックな形を仮定しない非パラメトリック推定法の開発。
• 区分的定数のマーク関数を持つマーク付き Hawkes プロセスへの手法の拡張。
• 推定誤差、パrameter 選択、収束性に関する体系的分析の提供。
• 高頻度取引および地震列挙データを含む実世界データへの手法の有効性の実証。

提案手法

• カーネル行列 Φ(t) とジャンプ相関行列 g(t) を結ぶ Wiener-Hopf 積分方程式系に依拠し、因果的で一意な解を有することが示された。
• ガウス求積を用いた Wiener-Hopf 方程式系の数値的逆解法により、高速かつ安定した非パラメトリック推定が可能となった。
• マーク付き Hawkes プロセスでは、マークが区分的定数である場合に、カーネル行列とマーク関数行列を同時に推定するように手法を適応した。
• バイアスとバリアンスを制御するための帯域幅および正則化パrameter 選択のヒューリスティクスを含む、段階的な推定手順の実装。
• EM 法や Lasso 正則化付き辞書ベース推定といった既存の非パラメトリック手法と比較した。
• 理論的誤差バウンドを導出し、 Hölder 継続性およびカーネルの正則性仮定の下で、バイアスが O(h^β)、バリアンスが O(1/(Rh)) のオーダーとなることを示した。ここで h は帯域幅、R は条件付けられた事象の数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量 Hawkes プロセスの2次相関構造は、そのカーネル行列を一意に特定できるか？
• RQ2 パラメトリックな形を仮定しない安定的かつ効率的な非パラメトリックな Hawkes カーネル推定法は存在するか？
• RQ3 区分的定数のマークを持つマーク付き Hawkes プロセスにおいて、提案手法はどのように機能するか？
• RQ4 非パラメトリック推定手順の収束性および誤差特性は何か？また、主要パrameter の選択にはどのような基準を用いるべきか？
• RQ5 EM 法や Lasso に基づく推定といった既存の非パラメトリック手法と比較して、本手法の精度およびスケーラビリティはどの程度か？

主な発見

• 多変量 Hawkes プロセスの2次構造は、Wiener-Hopf 積分方程式系の一意解として、そのカーネル行列を完全に特徴づける。
• 提案手法は、Hölder 継続性およびカーネルの正則性仮定の下で、バイアスが O(h^β)、バリアンスが O(1/(Rh)) のオーダーで達成される。
• 本手法はスケーラブルかつ効率的であり、1D および 3D プロセス、金融時系列および地震データを含む大規模データセットの処理が可能である。
• EUREX における高頻度取引データの推定カーネルは、べき乗則関数でよくフィットしており、モデルの実証的妥当性を支持する。
• 区分的定数のマーク関数を持つマーク付き Hawkes プロセスでは、カーネル行列とマーク関数行列を同等の精度で同時に推定可能である。
• 局所化されておらず滑らかなカーネル（例：べき乗則）を有する状況では、スパarsity 仮定が成り立たないため、EM 法や Lasso 正則化手法に比べて本手法が優れている。