[論文レビュー] Second order structures for sprays and connections on Frechet manifolds

Mansour Aghasi, Bahari, A. R.+3 more|ArXiv.org|Oct 29, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、バナッハ多様体の射影極限として定義されるフレチェ多様体へ、第二順位の幾何的構造（クリストッフェルバンドル、接続、スプレイ、ヘッセ構造、切断）を一般化する。問題となる無限次元線形構造の代わりに、バナッハ空間値双線形写像の射影極限を用いることで、これらの構造の間の一対一対応を確立し、このような多様体上での第二順位常微分方程式の存在および一意性定理を証明する。これにより、バナッハ多様体でない状況下でも測地線や平行移動の研究が可能になる。

ABSTRACT

Ambrose, Palais and Singer \cite{Ambrose} introduced the concept of second order structures on finite dimensional manifolds. Kumar and Viswanath \cite{Kumar} extended these results to the category of Banach manifolds. In the present paper all of these results are generalized to a large class of Frechet manifolds. It is proved that the existence of Christoffel and Hessian structures, connections, sprays and dissections are equivalent on those Frechet manifolds which can be considered as projective limits of Banach manifolds. These concepts provide also an alternative way for the study of ordinary differential equations on non-Banach infinite dimensional manifolds. Concrete examples of the structures are provided using direct and flat connections.

研究の動機と目的

• 有限次元およびバナッハ多様体から、広いクラスのフレチェ多様体へ、接続、スプレイ、ヘッセ構造などの第二順位幾何的構造を拡張すること。
• 特に一般線形群 $GL(\mathbb{F})$ の病理的挙動と $L^2(\mathbb{F},\mathbb{F})$ がフレチェ空間としての性質を持たない問題を、バナッハ空間の射影極限を用いて解決すること。
• 射影極限フレチェ多様体上でのクリストッフェル構造、接続、スプレイ、ヘッセ構造、切断の間の一対一対応を確立すること。
• バナッハ多様体でない無限次元多様体上での常微分方程式、特に測地線や平行移動の研究のための枠組みを提供すること。
• 右辺に $k$-リプシッツ条件を課すことにより、フレチェ空間上での第二順位常微分方程式の解の存在および一意性を示すこと。

提案手法

• バナッハ多様体の射影極限として定義されるフレチェ多様体に、一般化された接バンドル構造を構成し、$GL(\mathbb{F})$ の代わりに、整合性を持つ線形自己同型の位相群 $\mathcal{H}_0(\mathbb{F}) = \varprojlim GL(\mathbb{E}_i)$ を用いる。
• 双線形写像 $B_k^n: H^n(\mathbb{S}^1) \times H^n(\mathbb{S}^1) \to H^{n-2k}(\mathbb{S}^1)$ の射影極限としてクリストッフェルバンドルを定義し、これが線形接続の係数をなす。
• ヒルベルト空間接続の射影極限を用いて、微分同相群 $D = \mathrm{Diff}(\mathbb{S}^1)$ 上に一般化された線形接続 $\nabla_k = \varprojlim \nabla_k^i$ を導入する。
• 第二順位常微分方程式 $x'' = \Phi(t,x,x')$ を、$z = (x,y)$ とおくことで第一順位系 $z' = \tilde{\Phi}(t,z)$ に還元し、存在・一意性を保証するための $k$-リプシッツ条件を適用する。
• 各バナッハ成分 $H^n(\mathbb{S}^1)$ 上の解が射影極限において整合的であることを証明し、$x = \varprojlim x_i$ がフレチェ空間上で適切に定義された解であることを示す。
• フレチェ空間の半ノルム位相と $p_i(\tilde{\Phi}(t,z_0))$ の一様有界性を用いて、解の定義区間 $I = [t_0 - a, t_0 + a]$ を制御し、$a = \min\{\tau, 1/(M + k)\}$ と定める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二順位幾何的構造（接続、スプレイ、ヘッセ構造など）は、バナッハ多様体でないフレチェ多様体に対しても一貫して定義可能か？
• RQ2 フレチェ設定下で $GL(\mathbb{F})$ や $L^2(\mathbb{F},\mathbb{F})$ がうまくいかない問題を、バナッハ空間の射影極限を用いて回避できるか？
• RQ3 有限次元およびバナッハ設定で知られているクリストッフェル構造、接続、スプレイ、ヘッセ構造の同値性が、射影極限フレチェ多様体へも拡張可能か？
• RQ4 適切なリプシッツ型条件の下で、フレチェ空間上での第二順位常微分方程式が一意な局所解を持つことが示せるか？
• RQ5 この理論は、微分同相群 $\mathrm{Diff}(\mathbb{S}^1)$ のような具体的な無限次元多様体に適用可能か？もし可能であれば、測地線の性質は何か？

主な発見

• 射影極限フレチェ多様体上でのクリストッフェル、ヘッセ、接続、スプレイ、切断構造の存在は同値であり、有限次元およびバナッハ多様体での結果を一般化する。
• 一般化された構造群 $\mathcal{H}_0(\mathbb{F}) = \varprojlim GL(\mathbb{E}_i)$ は、フレチェ空間における不適切な $GL(\mathbb{F})$ の代わりに、適切に定義され、滑らかなリー群構造を持つ。
• $D = \mathrm{Diff}(\mathbb{S}^1}$ 上では、線形接続 $\nabla_k = \varprojlim \nabla_k^i$ が存在し、一意的であり、自己平行曲線は $u_t = B_k(u,u)$ を満たす。
• 第二順位常微分方程式 $x'' = \Phi(t,x,x')$ の解は、時間区間 $I = [t_0 - a, t_0 + a]$ 上で存在し、一意的であり、$a = \min\{\tau, 1/(M + k)\}$ である。ここで $M$ は初期データおよび $\Phi$ の半ノルムの上界である。
• 各バナッハ成分 $H^n(\mathbb{S}^1)$ 上の解は射影極限において整合的であり、グローバル解 $x = \varprojlim x_i$ は適切に定義され、$I$ 上で $x'' = \Phi(t,x,x')$ を満たす。
• $n \geq 2k+1$ の $H^n(\mathbb{S}^1)$-値解に対しては、最大存在時間 $T_n$ は $n \geq 2k+1$ に対して $n$ に依存せず、$T_n = T_{2k+1}$ となる。これにより、射影系全体で一貫性が保証される。