[論文レビュー] Second Quantization and the Spectral Action

Rui Dong, Masoud Khalkhali+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2019

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、化学ポテンシャルを伴う第二量子化されたフェルミオンおよびボソン系へスペクトル作用原理を拡張し、得られるギブズ状態のヴォイナム・エントロピーおよび平均エネルギーが、スペクトル作用として表現可能であることを示している。すべてのスペクトル作用係数は、第二種変形ベッセル関数を用いて導出され、フェルミオンのエントロピー係数は化学ポテンシャルがゼロの極限でリーマン・ゼータ関数に還元され、Chamseddine, Connes, および van Suijlekom の結果を回復する。

ABSTRACT

We consider both the bosonic and fermionic second quantization of spectral triples in the presence of a chemical potential. We show that the von Neumann entropy and the average energy of the Gibbs state defined by the bosonic and fermionic grand partition function can be expressed as spectral actions. It turns out that all spectral action coefficients can be given in terms of the modified Bessel functions. In the fermionic case, we show that the spectral coefficients for the von Neumann entropy, in the limit when the chemical potential $μ$ approaches $0,$ can be expressed in terms of the Riemann zeta function. This recovers a result of Chamseddine-Connes-van Suijlekom.

研究の動機と目的

• 化学ポテンシャルを伴う第二量子化されたフェルミオンおよびボソン系へのスペクトル作用原理の一般化を目的とする。
• 第二量子化における熱的ギブズ状態のヴォイナム・エントロピーおよび平均エネルギーが、スペクトル作用として表現可能かどうかを特定すること。
• 特に修正ベッセル関数を用いて、スペクトル作用係数の明示的表現を導出すること。
• Chamseddine, Connes, および van Suijlekom がフェルミオンのエントロピーに関するスペクトル作用について得た結果が、化学ポテンシャルがゼロの極限で回復および拡張可能かどうかを検証すること。

提案手法

• Fock空間とCAR/CCR代数を用いて、スペクトル三重項に第二量子化を適用し、ボソンおよびフェルミオンのFock空間を構築する。
• 化学ポテンシャルμを含むグランド分配関数を用いてギブズ状態を定義し、密度行列ρ_fおよびρ_bを導出する。
• これらの密度行列を用いてトレース操作によりヴォイナム・エントロピーおよび平均エネルギーを計算する。
• t→0+ の極限における、e^{-t(|D|−μ)^2}およびe^{-t(D^2−μ)^2}などの演算子のトレースを解析するため、漸近的ヒートカーネル展開を用いる。
• ラプラス変換およびメリン逆変換を用いて、トレースの漸近的挙動とスペクトル関数χ(x)を関連づけ、スペクトル作用係数を導出する。
• ヒートカーネル展開の構造により、第二種変形ベッセル関数が自然に係数式に現れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 化学ポテンシャルを含む第二量子化されたフェルミオンおよびボソン系におけるギブズ状態のヴォイナム・エントロピーは、スペクトル作用として表現可能か？
• RQ2 これらの第二量子化系におけるスペクトル作用係数の関数的形は何か？
• RQ3 スペクトル作用係数はμ→0の極限でどのように振る舞うか、特にフェルミオンのエントロピーに関しては？
• RQ4 なぜ化学ポテンシャルμが存在しないとボソンのエントロピーのスペクトル作用がt=0で特異的になるのか？μはどのようにこの特異性を正則化するか？
• RQ5 Chamseddine, Connes, および van Suijlekom がフェルミオンのエントロピーがスペクトル作用であると示した既知の結果は、回復可能かつ一般化可能か？

主な発見

• フェルミオンおよびボソン系の第二量子化におけるギブズ状態のヴォイナム・エントロピーおよび平均エネルギーが、第二種変形ベッセル関数を用いて表現可能なスペクトル作用であることが示された。
• フェルミオンの場合、化学ポテンシャルμ→0の極限におけるヴォイナム・エントロピーのスペクトル作用係数はリーマン・ゼータ関数を用いて表現され、Chamseddine, Connes, および van Suijlekom の結果が回復された。
• ボソンのエントロピーのスペクトル作用は化学ポテンシャルμによって正則化され、μ=0のときt=0で発生する特異性を回避する。
• e^{-t(|D|−μ)^2}の漸近的ヒートカーネル展開は、第二種変形ベッセル関数を含む級数となり、これが直接的にスペクトル作用係数を決定する。
• 両系における平均エネルギーのスペクトル作用係数についても、第二種変形ベッセル関数を用いて導出され、フェルミオンおよびボソン系の両方で普遍的な構造が示された。
• 導出過程により、第二量子化とスペクトル作用原理との間のファンクター的関係が確立され、化学ポテンシャルおよび熱的平衡状態を含むフレームワークが一般化された。