[論文レビュー] Second quantized quantum field theory based on invariance properties of locally conformally flat space-times

John Mashford|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時空を局所的に共形平坦な多様体とし、Möbius構造を備えたものとしてモデル化することで、電弱力に対する第二量子化された量子場理論（QFT）を提案する。これにより、$K \subset U(2,2)$ に局所的に同型な $SL(2,\mathbb{C}) \times U(1)$ に局所的に同型な群のユニタリ表現が、シュワーツスピンルとフォック空間上で得られる。主な貢献は、フェ Feynman振幅と伝播関数が、$K$-間隔作用素と共変測度として現れることであり、正則化なしに有限で幾何学的根拠を持つQEDおよび弱い相互作用の定式化を可能にする。

ABSTRACT

Well defined quantum field theory (QFT) for the electroweak force including quantum electrodynamics (QED) and the weak force is obtained by considering natural unitary representations of a group $K\subset U(2,2)$, where $K$ is locally isomorphic to $SL(2,{\bf C}) imes U(1)$, on a state space of Schwartz spinors, a Fock space ${\mathcal F}$ of multiparticle states and a space ${\mathcal H}$ of fermionic multiparticle states which forms a Grassmann algebra. These algebras are defined constructively and emerge from the requirement of covariance associated with the geometry of space-time. (Here $K$ is the structure group of a certain principal bundle associated with a given Möbius structure modeling space-time.) Scattering processes are associated with intertwining operators between various algebras, which are encoded in an associated bundle of kernel algebras. Supersymmetry emerges naturally from the algebraic structure of the theory. Kernels can be generated using $K$ covariant matrix valued measures given a suitable definition of covariance. It is shown how Feynman propagators, fermion loops and the electron self energy can be given well defined interpretations as measures covariant in this sense. An example of the methods described in the paper is given in which the first order Feynman amplitude of electro-electron scattering ($ee ightarrow ee$) is derived from a simple order (2,2) kernel. A second example is given explaining muon decay which is a manifestation of the weak force.

研究の動機と目的

• フェ Feynman伝播関数を関数ではなく、ミンコフスキー空間上の測度として再解釈することで、量子場理論における長年の無限大問題を解決すること。
• 局所的に共形平坦な時空の幾何学的および位相的不変性の性質に基づいて、電弱力の第二量子化QFTを確立すること。
• 散乱振幅と伝播関数が、$K$-共変な行列値測度と間隔作用素から自然に生じることを示し、恣意的な正則化や正則化を回避すること。
• 超対称性とフェルミ粒子統計が、特にフェルミ粒子状態のグラスマン代数の代数的構造から導かれるかどうかを示すこと。
• 核代数上のde Rhamコホモロジーの類似物を用いたコホモロジー的基準を提案し、物理的に実現可能な散乱過程を、単なる数学的可能なものから区別すること。

提案手法

• 時空を局所的にミンコフスキー的因果的構造としてモデル化し、これはMöbius構造に同等であり、$K \subset U(2,2)$ に局所的に同型な $SL(2,\mathbb{C}) \times U(1)$ に局所的に同型な主$K$-束を生じる。
• 状態空間をシュワーツスピンル、フォック空間 $\mathcal{F}$、フェルミ粒子多粒子状態のグラスマン代数 $\mathcal{H}$ として定義し、$K$ がそれらの上にユニタリに作用する。
• 状態空間間の $K$-間隔作用素を散乱理論の基本的対象として構成し、時空対称群 $K$ における共変性を保証する。
• フェ Feynman伝播関数と自己エネルギー補正を、$\mathbb{R}^4$ 上の $K$-共変行列値測度として表現し、電子-電子散乱およびミューオン崩壊の明示的例を示す。
• 核代数と関連するバンドルを用いて散乱振幅を符号化し、$\kappa$-行列を含むテンソル縮約により、2次元の核から全振幅を導出する。
• 核代数バンドル上のde Rhamコホモロジーの類似物を提案し、物理的に実現可能なプロセスを純粋に数学的なものと区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミ粒子伝播関数を関数ではなく測度として再解釈することで、電弱力の量子場理論を発散なしに定式化できるか？
• RQ2 特に $K \subset U(2,2)$ に局所的に同型な群としての局所的に共形平坦な時空の対称性が、フェルミオンフォック空間およびグラスマン空間上のユニタリ表現を持つ一貫性のある第二量子化QFTをどのように導くか？
• RQ3 $K$-間隔作用素が、正則化と正則化を伴う標準的摂動QFTに比べて、散乱振幅のより基本的かつ有限な記述を提供する程度はどの程度か？
• RQ4 超対称性とフェルミ粒子統計が、状態空間の代数的構造と $K$ の作用から導かれるかどうか？
• RQ5 核代数のコホモロジーを用いたトポロジカル基準が、物理的に発生する散乱過程と非物理的なものとを区別できるか？

主な発見

• フェ Feynman伝播関数と自己エネルギー補正が、$\mathbb{R}^4$ 上の $K$-共変行列値測度として厳密に定義され、正則化なしに有限で幾何学的根拠を持つ解釈が可能になる。
• 電子-電子散乱（$ee \to ee$）の一次振幅は、単一の2次元核から導出され、$K$-間隔作用素と $\kappa$-行列の縮約を用いて明示的に構成される。
• ミューオン崩壊は、$W$ボソン伝播関数を含む $K$-間隔作用素核を通して弱い力の現れ方として説明され、振幅は $K$-共変測度の形で表現される。
• 超対称性は理論の代数的構造、特にフェルミ粒子状態のグラスマン代数と核代数上の $K$-作用から自然に生じる。
• 物理的に実現可能な散乱過程は、核代数バンドル上のde Rhamコホモロジーの類似物のコホモロジー類に対応すると提唱され、時空の位相と観測可能な振幅を結びつける。
• 群 $K$ は、$SL(2,\mathbb{C}) \times U(1)$ に局所的に同型であり、コールマン＝マンドゥラの定理の破綻を許容し、時空対称性と内部対称性の統合の可能性を秘めた、基本的対称性群としてポincare群に取って代わる。