[論文レビュー] Section problems for configuration spaces of surfaces

Lei Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、曲面上の順序付きおよび無順序付き配置空間のファイブレーションの連続的セクションを分類し、$ℝ^2$（$n>3$）および$S^2$（$n>4$）に対して、セクションは「無限遠点に点を追加する」か「$x_k$ の近傍に点を追加する」ものに限られ、 genus $g>1$（$n>1$）の曲面では、あるいは $n=2$ のときの $S^2$ ではセクションが存在しないことを証明する。分類はホモトピー論的解析と、Thurston の曲面微分同相写像分類における標準的還元系に依存する。

ABSTRACT

In this paper we give a close-to-sharp answer to the basic questions: When is there a continuous way to add a point to a configuration of $n$ ordered points on a surface $S$ of finite type so that all the points are still distinct? When this is possible, what are all the ways to do it? More precisely, let PConf$_n(S)$ be the space of ordered $n$-tuple of distinct points in $S$. Let $f_n(S): ext{PConf}_{n+1}(S) o ext{PConf}_n(S)$ be the map given by $f_n(x_0,x_1,\ldots ,x_n):=(x_1,\ldots ,x_n)$. We classify all continuous sections of $f_n$ up to homotopy by proving the following. 1. If $S=\mathbb{R}^2$ and $n>3$, any section of $f_{n}(S)$ is either "adding a point at infinity" or "adding a point near $x_k$". (We define these two terms in Section 2.1; whether we can define "adding a point near $x_k$" or "adding a point at infinity" depends in a delicate way on properties of $S$. ) 2. If $S=S^2$ a $2$-sphere and $n>4$, any section of $f_{n}(S)$ is "adding a point near $x_k$"; if $S=S^2$ and $n=2$, the bundle $f_n(S)$ does not have a section. (We define this term in Section 3.2) 3. If $S=S_g$ a surface of genus $g>1$ and for $n>1$, we give an easy proof that the bundle $f_{n}(S)$ does not have a section.

研究の動機と目的

• 有限型の曲面 $S$ に対して、忘却ファイブレーション $f_n(S): \text{PConf}_{n+1}(S) \to \text{PConf}_n(S)$ のすべての連続的セクションを分類すること。
• このようなセクションが存在する条件およびそのホモトピー型を特定すること、特に「無限遠点に点を追加する」タイプと「$x_k$ の近傍に点を追加する」タイプを区別すること。
• 商ファイブレーション $F_n(S)$ を通じて、無順序配置空間への分類を拡張すること。
• 特に genus $g>1$ の曲面に対して、セクション存在のための位相的障害を基本群およびコhomologyの技法を用いて解消すること。

提案手法

• Thurston の曲面微分同相写像分類における標準的還元系を用いて、モノドロミーとセクションの障害を分析すること。
• ホモトピー論的技法を応用し、ホモトピー類ごとに区別するセクションを分類すること。特に「無限遠点に追加」か「$x_k$ の近傍に追加」かを区別する。
• 基本群およびコhomologyへの誘導写像の分析、特に $f_*: \pi_1(\text{PConf}_n(S)) \to \pi_1(S)$ および $f^*: H^1(S) \to H^1(\text{PConf}_n(S))$。
• Poincaré双対性およびカップ積構造を用いて、$S_g \times S_g$ 内の対角類 $[\triangle]$ の非自明な引き戻しを検出すること。
• 問題を、$f_*$ の像が忘却写像 $p_{i*}$ を通じて因数分解するか、あるいは巡回群に含まれる場合に還元し、コhomologyを用いた背理法による議論を展開すること。
• ブraid群および配置空間の安定性に関する既知の結果を活用するとともに、ランタン関係およびシンプレクティック基底を用いて新たな道具を導入すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲面 $S = \mathbb{R}^2$ および $n > 3$ のとき、ファイブレーション $f_n(S): \text{PConf}_{n+1}(S) \to \text{PConf}_n(S)$ は連続的セクションをもつか？
• RQ2 $S = S^2$ のとき、セクションはいつ存在し、$n=2$、$n>4$、$n=3$ の場合のホモトピー型は何か？
• RQ3 genus $g > 1$ および $n > 1$ の曲面 $S_g$ に対して、ファイブレーション $f_n(S_g)$ はセクションをもつか？
• RQ4 順序付き配置空間ファイブレーションのセクションは、$\Sigma_n$ による商をとることで無順序ケースとどのように関係するか？
• RQ5 多価セクションファイブレーション $\text{PConf}_{m}(S - \{x_1,\dots,x_n\})/\Sigma_m \to \text{PConf}_{n+m}(S)/\Sigma_m$ のセクションのホモトピー類は何か？

主な発見

• $S = \mathbb{R}^2$ および $n > 3$ のとき、$f_n(S)$ の任意の連続的セクションは、ある $1 \leq k \leq n$ に対して「無限遠点に点を追加する」か「$x_k$ の近傍に点を追加する」ものとホモトピックである。
• $S = S^2$ および $n = 2$ のとき、ファイブレーション $f_n(S)$ は連続的セクションをもたない。
• $S = S^2$ および $n > 4$ のとき、$f_n(S)$ の任意の連続的セクションは、ある $k$ に対して「$x_k$ の近傍に点を追加する」ものとホモトピックである。
• $S = S_g$ で $g > 1$ および $n > 1$ のとき、ファイブレーション $f_n(S)$ は連続的セクションをもたない。これはコhomologyおよび基本群の分析による背理法で示される。
• 無順序の場合、$F_n(\mathbb{R}^2)$ は $n > 3$ のとき「無限遠点に点を追加する」タイプのセクションのみをもつが、$F_n(S^2)$ は $n = 2,3$ または $n > 4$ のときセクションをもたない。
• genus $g > 1$ の証明は、任意のセクションが $\text{PConf}_n(S_g) \to S_g$ を誘導する写像 $f$ をもたらし、その対角類の引き戻しが矛盾を引き起こすことを示す。この矛盾は、$f_*$ の像が巡回群であるか、または忘却写像を経由して因数分解する場合にのみ回避可能であるが、両者ともコhomologicalな制約の下で成立しない。