[論文レビュー] Sectional curvature-type conditions on Finsler-like metric spaces

Martin Kell|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 33被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、Finsler的距離空間に対して2つの合成的曲率条件を導入する。1つはBusemannの非正曲率の双対的である断面曲率型条件であり、もう1つはBanach空間理論に由来する一様滑らかさの概念である。前者は非自明なハウスドルフ測度のもとで、双リプシッツ的分割、ダブリング、ポアンカレ、測度収縮の性質を示す。後者により、Busemann関数の擬凸性と弱いソールの存在が保証され、リーマン幾何学的およびリッチ有界な設定を超えた合成的曲率理論が進展する。

ABSTRACT

In the first part Busemann concavity as non-negative curvature is introduced and a bi-Lipschitz splitting theorem is shown. Furthermore, if the Hausdorff measure of a Busemann concave space is non-trivial then the space is doubling and satisfies a Poincare condition and the measure contraction property. In the second part the notion of uniform smoothness known from the theory of Banach spaces is applied to metric spaces. It is shown that Busemann functions are (quasi-)convex. This implies the existence of a weak soul. In the end further properties are developed to further dissect the soul. In order to understand the influence of curvature on the geometry of a space it helps to develop a synthetic notion. Via comparison geometry sectional curvature bounds can be obtained that demanding that triangles are thinner or fatter. The two classes are called CAT(κ)- and resp. CBB(κ)-spaces. We refer to the book (BH99) and the forthcoming book (AKP) (see also (BGP92, Ots97)). Note that all those notions imply a Riemannian character of the metric space. In particular, the angle between two geodesics starting at a common point is well-defined. Busemann (Bus55, Section 36) study a weaker notion of non-positive curvature which also applies to normed spaces. A similar idea was developed by Pedersen (Ped52) (see also (Bus55, (36.15))) which fits better in the study of Hilbert geometries (KS58). In the recent year a synthetic notion of a lower bound on the Ricci curvature was defined by Lott-Villani (LV09) and Sturm (Stu06). However, their condition include also Finsler manifolds (Oht09, Oht13). The notion of lower curvature bound in the sense of Alexandrov, i.e. CBB(κ)-spaces, is compatible with this Ricci bound (Pet10, GKO13). However, by now there is no known sectional curvature analogue for Finsler-like spaces which is compatible the synthetic Ricci bounds. In this note we present two approaches towards a sectional curvature-type con- dition. The first is the converse of Busemann's non-positive curvature condition. This condition implies a bi-Lipschitz splitting theorem, uniqueness of tangent cones and if the space admits a non-trivial Hausdorff measure then such spaces satisfy doubling and Poincare conditions and even the measure contraction property. This approach rather focuses on the generalized angles formed by two geodesics. The second approach can be seen as a dual to the theory of uniformly convex metric spaces which we call uniform smoothness. This rather weak condition is only powerful in the large. More precisely, we show that Busemann functions associated to rays are (quasi-)convex and that the space has a weak soul. In order to match the theory in the smooth setting we try to develop further assumptions which imply

研究の動機と目的

• 従来の断面曲率が定義されないFinsler的距離空間に対して、合成的断面曲率型条件を構築すること。
• リーマン幾何学的およびリッチ有界な設定を超えて、分割定理や測度条件といった曲率に基づく幾何的性質を拡張すること。
• Busemannの非正曲率と合成的リッチ曲率の間のギャップを埋めるために、双対的曲率概念を導入すること。
• Busemann関数が凸であり、弱いソールが存在するような条件を確立することにより、滑らかなリーマン幾何学を模倣すること。
• 角度構造を仮定しないFinsler多様体および合成的リッチ曲率の有界性と整合するフレームワークを提供すること。

提案手法

• Busemannの非正曲率の双対的である曲率条件を導入し、測地線間の一般化された角度に注目する。
• 双リプシッツ幾何学を用いて、この双対的条件のもとで分割定理と位相的剛性を導出する。
• Banach空間理論における一様滑らかさの概念を距離空間に適応し、大規模幾何学に応用する。
• 一様滑らかさの下で、レイトに付随するBusemann関数が（擬）凸であることを証明し、弱いソールの存在を示す。
• 非自明なハウスドルフ測度が成立する場合、双対Busemann曲率条件のもとでダブリング、ポアンカレ、測度収縮の性質が成立することを示す。
• 比較幾何の技法を用いて、三角形の細さ／太さを分析し、CAT(κ)やCBB(κ)空間に類似した方法で、Finsler的設定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 角度構造を要件としないFinsler的空間に対して、リーマン曲率を一般化する合成的断面曲率条件を定義可能か？
• RQ2 Busemannの非正曲率の双対的条件は、双リプシッツ的分割と測度論的正則性を示すか？
• RQ3 距離空間における一様滑らかさが、Busemann関数の凸性および弱いソールの存在にどの程度寄与するか？
• RQ4 これらの新しい曲率条件は、Finsler幾何学における既存の合成的リッチ曲率の有界性とどのように関係するか？
• RQ5 非リーマン的設定において、断面曲率型条件からダブリング、ポアンカレ、測度収縮の性質を導出可能か？

主な発見

• 双対Busemann条件は、リーマン幾何学におけるCheeger-Gromollの分割定理を一般化した双リプシッツ的分割定理を示す。
• ハウスドルフ測度が非自明な場合、双対Busemann曲率条件のもとで空間はダブリングおよびポアンカレ条件を満たす。
• 同じ条件下で空間は測度収縮性質も満たし、曲率と測度挙動の関係を明確にする。
• 一様滑らかさの下で、レイトに付随するBusemann関数は（擬）凸であるため、弱いソールの存在が保証される。
• 弱いソールはコンパクトかつ完全凸な部分集合であり、リーマン幾何学におけるソールと同様に大規模幾何を捉える。
• 提案された曲率条件は合成的リッチ曲率の有界性と整合し、Finsler多様体へも拡張可能であり、非リーマン的比較幾何における空白を埋める。