[論文レビュー] Sectorial descent for wrapped Fukaya categories

Sheel Ganatra, J. F. Pardon+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Weinstein多様体のラップドフクヤカテゴリに対して、セクター的降下性（sectorial descent）を確立し、Weinsteinセクター的被覆上でのホモトピー余極限としてカテゴリが分解されることを証明する。主な結果には、クンネンツの公式、ラッピングによる正確な三角形、コアコアとリンクィングディスクによる生成、ストップ除去が局所化に対応することなどがあり、これらはシンプレクティックトポロジーにおける強力な計算的道具を可能にする。

ABSTRACT

We develop a set of tools for doing computations in and of (partially) wrapped Fukaya categories. In particular, we prove (1) a descent (cosheaf) property for the wrapped Fukaya category with respect to so-called Weinstein sectorial coverings and (2) that the partially wrapped Fukaya category of a Weinstein manifold with respect to a mostly Legendrian stop is generated by the cocores of the critical handles and the linking disks to the stop. We also prove (3) a `stop removal equals localization' result, and (4) that the Fukaya--Seidel category of a Lefschetz fibration with Liouville fiber is generated by the Lefschetz thimbles. These results are derived from three main ingredients, also of independent use: (5) a Künneth formula (6) an exact triangle in the Fukaya category associated to wrapping a Lagrangian through a Legendrian stop at infinity and (7) a geometric criterion for when a pushforward functor between wrapped Fukaya categories of Liouville sectors is fully faithful.

研究の動機と目的

• ラップドフクヤカテゴリのシンプレクティックトポロジーにおける計算的ツールの開発。
• Weinsteinセクター的被覆におけるラップドフクヤカテゴリの降下性の確立。
• ほとんどLegendrianなストップをもつWeinstein多様体の部分ラップドフクヤカテゴリが、コアコアとリンクィングディスクによって生成されることの証明。
• ストップ除去が継続写像における局所化に対応することの示唆。
• ラップドフクヤカテゴリ間の fully faithful ファンクターのための幾何的基準の提供。

提案手法

• 積Liouvilleセクターのラップドフクヤカテゴリに対するクンネンツの公式の使用。
• 無限遠のLegendrianストップを通るラグランジュアンのラッピングに関連する、フクヤカテゴリにおける正確な三角形の確立。
• ラップドフクヤカテゴリ間の押し出しファンクターが fully faithful であるための幾何的基準の導入。
• 被覆上でのカテゴリの分解に、ホモトピー余極限および押し出しの形式的枠組みの適用。
• ストップ付き包含写像とセクターの接合を用いて、局所的およびグローバルカテゴリを関連付ける。
• ねじれ複体および三角的包の理論を活用し、 quasi-equivalence 結果の証明に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラップドフクヤカテゴリが、セクター的被覆を用いてČech型の分解をもつか？
• RQ2 ほとんどLegendrianなストップをもつWeinstein多様体の部分ラップドフクヤカテゴリが、コアコアとリンクィングディスクによって生成されるか？
• RQ3 フクヤカテゴリにおけるストップ除去は、ストップに関連する継続写像における局所化と同値か？
• RQ4 ラップドフクヤカテゴリ間の押し出しファンクターが fully faithful であるための幾何的条件は何か？
• RQ5 積とシリンダ化（cylindrization）を用いて、ラップドフクヤカテゴリを構成し、それらを関連付ける方法は何か？

主な発見

• セクター的降下が成立：Weinstein多様体のラップドフクヤカテゴリは、Weinsteinセクター的被覆上のセクターのホモトピー余極限と quasi-equivalent である。
• ほとんどLegendrianなストップをもつWeinstein多様体の部分ラップドフクヤカテゴリは、臨界ハンドルのコアコアとストップへのリンクィングディスクによって生成される。
• フクヤカテゴリにおけるストップ除去は、ストップに関連する継続写像における局所化と正確に一致する。
• LiouvilleファイバーをもつLefschetzファイブレーションのフクヤカ・セイデルカテゴリは、Lefschetzサンゴウによって生成される。
• Liouvilleセクターおよびストップ付き多様体の積のラップドフクヤカテゴリに対して、クンネンツの公式が成り立つ。
• ラップドフクヤカテゴリ間の押し出しファンクターが fully faithful であるための幾何的基準が確立され、その根拠は凸性とLiouville構造に基づく。