[論文レビュー] Sectorial forms and degenerate differential operators

Wolfgang Arendt, Tom Ter Elst|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 21被引用数 73

ひとこと要約

本稿は、閉包性を仮定しない扇型形式に対する新しい枠組みを導入することで、半群理論を拡張し、それらの形式から直接ホロモーレィック $C_0$-半群を生成することを可能にする。主な貢献は、標準的な閉包性仮定を除去する一般化された生成定理であり、特異な微分作用素（ロビン、ウェントツィル、ノイマン型境界条件を含む）の直接的取り扱いを可能にする。これは、粗い領域や係数が消える場合でも有効である。

ABSTRACT

If $a$ is a densely defined sectorial form in a Hilbert space which is possibly not closable, then we associate in a natural way a holomorphic semigroup generator with $a$. This allows us to remove in several theorems of semigroup theory the assumption that the form is closed or symmetric. Many examples are provided, ranging from complex sectorial differential operators, to Dirichlet-to-Neumann operators and operators with Robin or Wentzell boundary conditions.

研究の動機と目的

• ホロモーレィック半群を生成するための形式的手法における標準的な閉包性仮定を排除すること。
• 複素数で可測な係数をもつ特異的かつ非対称な微分作用素を含む、扇型形式の理論を一般化すること。
• 非単射埋め込み $j$ を用いて、ロビン、ウェントツィル、およびノイマン型境界条件を統一的に取り扱う枠組みを提供すること。
• 特異的楕円型作用素によって生成される半群の部分マルコフ性および局所性を確立すること。
• 事前に正則性仮定を必要とせずに、リプシッツ領域におけるトレース作用素と境界条件の直接的・内在的な取り扱いを提供すること。

提案手法

• 閉包性を要しない、$H$ における稠密な定義域 $D(a) \subset H$ 上の扇型形式 $a$ を定義し、ある $\theta < \pi/2$ に対して $a(u) - \gamma\|u\|^2 \in \Sigma_\theta$ を満たすようにする。
• 極限過程を用いて作用素 $A$ を構成する：$x \in D(A)$ かつ $Ax = f$ であるとは、$u_n \in D(a)$ の列で $u_n \to x$ in $H$、$\operatorname{Re}a(u_n)$ が有界であり、かつすべての $v \in D(a)$ に対して $a(u_n, v) \to (f, v)_H$ となるものが存在することを意味する。
• 可能であれば非単射埋め込み $j: V \to H$ を用いた一般化された形式的手法を用い、完全な状況を扱い、古典的結果を非単射設定へと拡張する。
• $a$ が閉包性を持たない場合でも、$-A$ が $\Sigma_{\pi/2 - \theta}$ の内部でホロモーレィック $C_0$-半群を生成することを証明する。
• 複素数で可測な係数をもつ特異的楕円型作用素に理論を適用し、Davies–Gaffney推定式を証明し、局所性を確立する。
• 非単射 $j$-写像を用いて、粗い領域でもトレースの存在と境界条件（例えばロビン、ウェントツィル）の実現を同じ枠組み内で行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉包性を持たない扇型形式からホロモーレィック半群を生成することは可能か？ これにより、形式的手法における標準的仮定が排除されるか？
• RQ2 係数が領域の一部で消えたり、複素数であるような特異的楕円型作用素は、形式的手法の枠組み内でどのように取り扱えるか？
• RQ3 領域の滑らかさを仮定せず、ノイマン型境界条件を含む境界条件を直接扇型形式から構成できるか？
• RQ4 特異的作用素によって生成される半群が部分マルコフ的であるか、正性を保存するための条件は何か？
• RQ5 ロビンおよびウェントツィル境界条件のトレース作用素は、この形式的アプローチを用いて一般設定で厳密に定義され、実現可能か？

主な発見

• 形式 $a$ が閉包性を持たない場合でも、極限条件によって定義される作用素 $A$ は適切に定義され、$-A$ は $\Sigma_{\pi/2 - \theta}$ でホロモーレィック $C_0$-半群を生成する。
• 理論は、係数が領域の一部で消える場合でも、複素数で可測な係数をもつ特異的楕円型作用素に直接適用可能であり、$L_2(\Omega)$ 上での半群生成を保証する。
• Davies–Gaffney型推定式が証明され、半群の局所性および実係数のノイマン条件における定数関数の不変性が確立される。
• リプシッツ領域におけるロビン境界条件では、$L_2(\partial\Omega, \sigma)$ に一意なトレースが存在し、生成作用素は $L_2(\Omega)$ 上でホロモーレィック半群を生成する。
• リプシッツ領域におけるノイマン型境界条件作用素は、$L_p(\partial\Omega)$ 上で部分マルコフ的半群を生成する。この構成は非単射 $j$-写像を用いて有効である。
• 粗い領域におけるトレースの存在のための新しい簡単な証明が与えられ、係数が特異的であってもウェントツィル境界条件が完全に一般化された設定で取り扱える。