[論文レビュー] Seesaw words in Thompson's group F

Sean Cleary, Jennifer Taback|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ジョンソンの群 F における 'てこごろ' 要素——長 geodesic な後ろに付けられる suffix が $x_0^k$ と $x_0^{-k}$ の2通りに限られる——を導入し、標準生成子 ${x_0, x_1}$ に関する Cayley 図が任意の $k$ に対して $k$-仲間旅行者性を満たさないことを示し、F が geodesic によって combable でないことを証明する。この構成により、最小長代表元における本質的非一意性が明らかになり、標準化された語の短縮が複雑になる。

ABSTRACT

We describe a family of words in Thompson's group F which present a challenge to the question of finding canonical minimal length representatives, and which show that F is not combable by geodesics. These words have the property that there are only two possible suffixes of long lengths for geodesic paths to the word from the identity; one is of the form $g^k$ and the other of the form $g^{-k}$ where g is a generator of the group.

研究の動機と目的

• ジョンソンの群 F が標準生成子 $\u007Bx_0, x_1\u007D$ に関して、群の要素に対して一貫した最小長代表元を構成できるかを示すこと。
• 標準生成子 ${x_0, x_1\u007D$ に関する F の Cayley 図が、任意の定数 $k$ に対して $k$-仲間旅行者性を満たさないことを示し、図が geodesic によって combable でないことを示すこと。
• geodesic 路が非常に制限された形をとる要素を構成することで、F の幾何的複雑性を分析し、combability のための構造的障害を明らかにすること。
• 非ほぼ凸性および非 combability を理解を拡張するため、geodesic 行動が発散する明示的な要素の族を提示すること。

提案手法

• 特定のキャリー型配置を持つ木のペア図を用いて、生成子による乗算における語長の変化を制御する、F に属する要素の族である 'てこごろ語' を構成する。
• Fordham のアルゴリズムを適用し、生成子による乗算に伴うキャリー型（例：$L_L$, $R_{NI}$）の変化を追跡することで、F における語長を計算する。
• 木のペア図における削減条件を用いて一意性を保証し、$x_0^\pm$ および $x_1^\pm$ が語長に与える影響をキャリー対応型の変化を通じて分析する。
• 恒等元からてこごろ語への geodesic 路を分析し、唯一 $x_0^k$ または $x_0^{-k}$ のいずれかが長い suffix になり得ることを示す。
• $wx_0$ および $wx_0^{-1}$ を通る geodesic 路間の距離を用いた距離論的議論を行い、swing $k$ に従って $k$-仲間旅行者距離が増大することを示し、有界性が破られる。
• 背理法により、geodesic の combing が存在しないことを証明する：このような combing が存在すると仮定すると、大きな swing を持つてこごろ語に対して、仲間旅行者距離が無限大に達する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョンソンの群 F の要素に対して、標準生成子セットを用いて一貫して標準化された最小長代表元を構成できるか？
• RQ2 標準生成子 ${x_0, x_1\u007D$ に関する F の Cayley 図が、ある定数 $k$ に対して $k$-仲間旅行者性を満たすか？
• RQ3 F の語距離の構造的特徴は、geodesic によって combable でない理由を何らかの形で特定できるか？
• RQ4 木のペア図の幾何的性質は、生成子による乗算における語長の短縮にどのように影響するか？
• RQ5 語長を短縮できる生成子が2つに限られるような F の要素は存在するか？ そのような要素が geodesic 路に与える影響は何か？

主な発見

• 本稿は、$x_0^k$ および $x_0^{-k}$ のみが長い geodesic 後ろに付けられる 'てこごろ語' の族を F に構成し、swing $k$ を任意に大きくできる。
• 任意の $k$ に対して、geodesic 路が $w$ に到達するには、$x_0^k$ または $x_0^{-k}$ で終わらなければならないようなてこごろ語が存在し、$wx_0$ および $wx_0^{-1}$ を通る路の間の仲間旅行者距離は無限大に達する。
• $wx_0$ および $wx_0^{-1}$ を通る geodesic 路間の距離は $2k$ であり、$k$ が増加するにつれて無限大に発散するため、$k$-仲間旅行者性が破られる。
• これは、F が geodesic によって combable でないことを示唆する。なぜなら、恒等元から出発する一貫した geodesic 路の族が、有界な仲間旅行者条件を満たすことはできないからである。
• この構成により、F における最小長代表元が一意的でも標準的でもないことが明らかになる。なぜなら、同じ要素に至る geodesic 路が複数存在し、それらの間の距離が有界でないからである。
• $k$-仲間旅行者性の失敗は、木のペア図の分析と生成子乗算による語長追跡を通じて明示的に示された。