[論文レビュー] Segal-Bargmann transform on Hermitian symmetric spaces and Orthogonal Polynomials

Mark Davidson, Gestur Ólafsson+1 more|ArXiv.org|Jun 26, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、筒型のヘルミート対称空間上のセガール＝バーグマン変換と直交多項式の間の関係を確立し、非有界実現におけるラプラース変換として制限写像の逆写像が得られることを示している。球関数の展開における係数はジャック対称多項式として特定され、ハリシュ＝チャンドラのプランシュレル測度とベレジン変換記号を含む測度に関して直交することを証明し、リー代数作用およびカイリー変換を用いて差分および漸化式関係を導出している。

ABSTRACT

Let $\mathcal{D}=G/K$ be a complex bounded symmetric domain of tube type in a complex Jordan algebra $V$ and let $\mathcal{D}_{\mathbb{R}}=H/L\subset \mathcal{D}$ be its real form in a formally real Euclidean Jordan algebra $J\subset V$. We consider representations of $H$ that are gotten by the generalized Segal-Bargmann transform from a unitary $G$-space of holomorphic functions on $\mathcal{D}$ to an $L^2$-space on $\mathcal{D_{\mathbf{R}}}$. We prove that in the unbounded realization the inverse of the unitary part of the restriction map is actually the Laplace transform. We find the extension to $\mathcal{D}$ of the spherical functions on $\mathcal{D}_{\mathbb{R}}$ and find the expansion in terms of the $L$-spherical polynomials on $\mathcal{D}$, which are Jack symmetric polynomials. We prove that the coefficients are orthogonal polynomials in an $L^2$-space, the measure being the Harish-Chandra Plancherel measure multiplied by the symbol of the Berezin transform. We prove the difference equation and recurrence relation for those polynomials by considering the action of the Lie algebra and the Cayley transform on the polynomials on $\mathcal D$.

研究の動機と目的

• 有界対称領域上のホロモーフィック離散的系列表現を用いた、筒型のヘルミート対称空間へのセガール＝バーグマン変換の一般化。
• 有界対称領域 $ \mathcal{D} $ 上の正則関数からその実形式 $ \mathcal{D}_{\mathbb{R}} $ 上の $ L^2 $ への制限写像の逆写像が非有界実現におけるラプラース変換であることを特定する。
• 実形式上の球関数を特徴づけ、複素領域上の $ L $-球関数多項式の展開で表す。
• この展開における係数が、ハリシュ＝チャンドラのプランシュレル測度とベレジン変換記号を含む重み付き $ L^2 $-測度に関して直交多項式であることを証明する。
• リー代数作用およびカイリー変換を用いて、これらの多項式の差分および漸化式関係を導出する。

提案手法

• 有界対称領域 $ \mathcal{D} $ 上のホロモーフィック離散的系列表現からのユニタリ制限を用いて、制限原理によりセガール＝バーグマン変換を定義する。
• ユニタリ部分の制限写像の逆写像が、領域の非有界実現におけるラプラース変換に対応することを示す。
• $ \mathcal{D}_{\mathbb{R}} $ 上の球関数を特定し、それを $ \mathcal{D} $ 上に正則に拡張し、$ L $-球関数多項式の展開として表現する。
• $ L $-球関数多項式がジャック対称多項式として特定され、ハリシュ＝チャンドラのプランシュレル測度とベレジン変換記号の積からなる測度に関して直交することを証明する。
• リー代数 $ \mathfrak{h}^\gamma $ の無限小作用および $ \xi \in \mathfrak{h}^\gamma $ が多項式に作用する様子を分析することで、差分および漸化式関係を導出する。
• カイリー変換を用いて、非有界実現における微分作用素と有界領域上の作用素を関連付け、ラグエル関数の2階微分方程式の導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘリトゥート対称空間上のセガール＝バーグマン変換は、複素領域上の直交多項式とどのように関係するか？
• RQ2 非有界実現におけるユニタリ制限写像の逆写像の明示的形は何か？
• RQ3 実形式上の球関数はどのように複素領域上の正則関数に拡張され、$ L $-球関数多項式の展開として表されるか？
• RQ4 この展開における係数の直交測度は何か？また、ベレジン変換記号とどのように関係するか？
• RQ5 この展開から得られるラグエル関数の振る舞いを支配する微分方程式は何か？また、リー代数作用からどのように導出されるか？

主な発見

• 有界対称領域 $ \mathcal{D} $ 上の正則関数から $ L^2(\mathcal{D}_{\mathbb{R}}) $ へのユニタリ制限写像の逆写像は、非有界実現におけるラプラース変換である。
• 実形式 $ \mathcal{D}_{\mathbb{R}} $ 上の球関数は正則に $ \mathcal{D} $ に拡張され、$ L $-球関数多項式の展開として表される。これら多項式はジャック対称多項式として特定される。
• この展開における係数は、測度 $ \mu = \text{プランシュレル測度} \times \text{ベレジン変換記号} $ に関して直交多項式である。
• この多項式の差分方程式は $ Z_0 \in \mathfrak{h}^\gamma $ の作用から得られ、インデックス集合上の上昇・下降作用素を含む関係式となる。
• 漸化式は、作用素 $ \pi_\nu(\xi) $ を含む2階微分方程式として表現され、これはラグエル関数に径方向微分作用素として作用する。
• 作用素 $ \pi_\nu(\xi) $ の径方向部分は、上半平面の場合、方程式 $ (tD^2 + \nu D - t)\ell_n^\nu = -( \nu + 2n)\ell_n^\nu $ の形の微分方程式を導く。これは高ランク領域へ一般化可能である。