[論文レビュー] Segal topoi and stacks over Segal categories

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|ArXiv.org|Dec 23, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、モデル圏とは異なりセガール圏を用いることで、ストラクチャーとトポスのホモトピー的枠組みを構築する。セガール前ストラクチャーの完全局所化としてセガールトポスを導入し、セガールトポスと幾何的同型写像の2-セガール圏を構成する。ギラウド型の特徴付けを示し、単体的局所化を用いてセガールトポスとモデルトポスの同値性を示すことで、サイトにおける洗練されたホモトピー型理論を可能にし、アーティン＝マズールのエタールホモトピー理論を拡張する。

ABSTRACT

In math.AG/0207028 we began the study of higher sheaf theory (i.e. stacks theory) on higher categories endowed with a suitable notion of topology: precisely, we defined the notions of S-site and of model site, and the associated categories of stacks on them. This led us to study a notion of extit{model topos} (orginally due to C. Rezk), a model category version of the notion of Grothendieck topos. In this paper we treat the analogous theory starting from (1-)Segal categories in place of S-categories and model categories. We introduce notions of Segal topologies, Segal sites and stacks over them. We define an abstract notion of Segal topos and relate it with Segal categories of stacks over Segal sites. We compare the notions of Segal topoi and of model topoi, showing that the two theories are equivalent in some sense. However, the existence of a nice Segal category of morphisms between Segal categories allows us to improve the treatment of topoi in this context. In particular we construct the 2-Segal category of Segal topoi and geometric morphisms, and we provide a Giraud-like statement characterizing Segal topoi among Segal categories. As an example of applications, we show how to reconstruct a topological space up to homotopy from the Segal topos of locally constant stacks on it, thus extending the main theorem of Toen, "Vers une interpretation Galoisienne de la theorie de l'homotopie" (to appear in Cahiers de top. et geom. diff. cat.) to the case of un-based spaces. We also give some hints of how to define homotopy types of Segal sites: this approach gives a new point of view and some improvements on the étale homotopy theory of schemes, and more generally on the theory of homotopy types of Grothendieck sites as defined by Artin and Mazur.

研究の動機と目的

• モデル圏とは異なる代替手段としてセガール圏を用いたストラクチャーとトポスの高次圏的枠組みを構築すること。
• セガールトポスの概念に至るため、セガールトポス構造、セガールサイト、およびそれら上のストラクチャーを定義すること。
• セガールトポスと幾何的同型写像の2-セガール圏を構築し、内部ホム対象の欠如によるモデルトポス理論の制限を克服すること。
• 単体的局所化を用いてセガールトポスとモデルトポスの同値性を確立することで、2つの高次トポス論のアプローチを統合すること。
• アーティン＝マズールのエタールホモトピー理論を一般化し、セガールサイトのプロホモトピー型を定義することで、球体スペクトルへの応用を含む。

提案手法

• セガール圏 T にセガールトポスを、そのホモトピー圏 Ho(T) 上のグロテンディークトポスとして定義する。
• セガールサイト (T,τ) 上の前ストラクチャーのセガール圏を、単体的プレシャーブのセガール圏として構成する。
• セガールトポスを前ストラクチャー圏の完全局所化として定義し、ストラクチャーが極限と降下に関して閉じたフルサブ-セガール圏を形成することを保証する。
• セガール圏間の内部ホム対象の存在を活用し、随伴ペアとして幾何的同型写像を定義し、セガールトポスの2-セガール圏を構成する。
• モデル圏 M の単体的局所化 LM が、ストラクチャーのセガールトポスと局所化されたモデル圏のストラクチャーの間で同値を誘導することを証明する。
• セガールトポスのプロホモトピー型を、左フィルター付きセガール圏上のコロイミットとして定義し、アーティン＝マズールのプロ対象構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル圏の制限を克服するため、セガール圏の文脈でストラクチャーとトポスを再定義する方法は何か？
• RQ2 セガールトポスと幾何的同型写像の2-セガール圏の構造は何か？そして古典的トポスの2-圏とどのように比較できるか？
• RQ3 セガールトポスのプロホモトピー型は構成可能か？また、アーティン＝マズールのエタールホモトピー型をどのように洗練させるか？
• RQ4 セガールトポスは、ある種の正確性および完全性条件を満たすカテゴリとして、ギラウド型の特徴付けを受けるか？
• RQ5 球体スペクトルの小さなエタールセガールトポスのエタールホモトピー型は何か？そしてチロノミックホモトピー論とどのように関係するか？

主な発見

• セガールトポスは前ストラクチャー圏の完全局所化として定義され、すべての t-完備セガールトポスはセガールサイト上のストラクチャーの圏として現れる。
• モデル圏のストラクチャーの単体的局所化とセガールトポスのストラクチャーの間には自然な同値が存在し、モデルトポス理論とセガールトポス理論の同値性を示す。
• セガール圏内の内部ホム対象を用いることで、セガールトポスの2-セガール圏が構成され、幾何的同型写像の整合的理論が可能になる。
• ギラウド型の定理が提示され、セガールトポスは前ストラクチャー圏の完全局所化であり、ある種のコリミットおよび随伴性の性質を満たすセガール圏として特徴付けられる。
• セガールトポスのプロホモトピー型は、左フィルター付きセガール圏上のコロイミットとして定義され、アーティン＝マズールの構成を一般化し、モラバ K-理論を通じてチロノミックデータを捕捉する可能性を有する。
• 球体スペクトルのエタールセガールトポスのプロホモトピー型は、K(n) および E(n) 理論に関連する情報を符号化すると予想され、エタールホモトピー論のチロノミックな洗練を示唆する。