[論文レビュー] Segre embedding and related maps and immersions in differential geometry

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素幾何におけるセグレ埋め込みおよび関連構成の微分幾何的性質を調査し、ケーラー的埋め込み、CR部分多様体、ラグランジュ部分多様体、およびワーペッド積を焦点としている。セグレ型写像—たとえばテンソル積埋め込み、部分セグレ写像、およびねじれセグレ埋め込み—が、複素射影空間およびユークリッド空間内の部分多様体の標準的構成を提供することを確立しており、主な結果として、実超曲面が部分セグレ埋め込みとして特徴づけられること、およびCRワーペッド積に関する幾何的不等式の等号成立条件が得られている。

ABSTRACT

Segre embedding was introduced by C. Segre (1863--1924) in his famous 1891 article \cite{segre}. The Segre embedding plays an important roles in algebraic geometry as well as in differential geometry, mathematical physics, and coding theory. In this article, we survey main results on Segre embedding in differential geometry. Moreover, we also present recent differential geometric results on maps and immersions which are constructed in ways similar to Segre embedding.

研究の動機と目的

• セグレ埋め込みおよびその一般化に関する最近の複素幾何およびケーラー幾何における微分幾何的結果をサーベイし、体系化すること。
• テンソル積、部分セグレ写像、および畳み込みなどのセグレ型構成が、CR部分多様体やラグランジュ埋め込みなどの重要な部分多様体クラスをどのように生成するかを調査すること。
• セグレ埋め込みから導かれる埋め込みに関して、幾何的不等式および特徴づけ定理を確立すること、特に複素射影空間およびユークリッド空間において。
• 複素空間形式内の実超曲面が部分セグレ埋め込みとして自然に生じることを示し、剛体運動を除いてその逆も成り立つことを示すこと。

提案手法

• 本稿は、$ S_{hp}: \mathbb{C}P^h(4) \times \mathbb{C}P^p(4) \to \mathbb{C}P^{h+p+hp}(4) $ で定義されるセグレ埋め込み $ (z_j w_t) $ を、ケーラー的およびCR埋め込みを生成する基盤的構成として採用している。
• セグレ写像を高次積 $ S_{n_1\cdots n_s} $ に拡張し、テンソル積構造 $ z \boxtimes w $ を用いて複素空間内での新しい埋め込みを定義している。
• ボックステンソル積 $ \boxtimes $ を適用し、$ \mathbb{C}^m $ および $ S^q(1) $ への等長埋め込みを介して、複素拡張子、ラグランジュ部分多様体、およびワーペッド積埋め込みを構成している。
• リーマン多様体に対してユークリッド的セグレ写像 $ x \boxtimes y $ を導入し、計量 $ \rho_2^2 g_1 + \rho_1^2 g_2 + 2\rho_1\rho_2 d\rho_1 \otimes d\rho_2 $ を持つ畳み込み多様体を導出している。ここで $ \rho_i = |x_i| $ である。
• ねじれセグレ写像 $ z \boxtimes \bar{z} $ を用いて、共役を介して $ \mathbb{C}P^n(2) $ から $ \mathbb{C}P^{n(n+2)}(4) $ への完全に実の埋め込みを構成している。
• 幾何的不等式 $ \|\sigma\|^2 \geq 2p\|\nabla(\ln f)\|^2 $ が解析され、等号成立条件は標準的部分セグレ $ CR $-埋め込みに結びついている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セグレ型埋め込みおよびその一般化は、複素射影空間およびユークリッド空間内の部分多様体をどのように特徴づけるか？
• RQ2 複素空間 $ \mathbb{C}^{n+1} $ 内の実超曲面が部分セグレ埋め込みまたはワーペッド積として生じるための条件は何か？
• RQ3 幾何的不等式 $ \|\sigma\|^2 \geq 2p\|\nabla(\ln f)\|^2 $ の等号成立条件は、セグレ構成によって特徴づけられるか？
• RQ4 テンソル積および畳み込み構成は、複素空間内でのラグランジュ部分多様体やCR部分多様体をどのように生成するか？
• RQ5 共役およびねじれセグレ写像は、完全に実部分多様体を生成するために果たす役割は何か？

主な発見

• セグレ埋め込み $ S_{hp} $ は、$ \mathbb{C}P^h(4) \times \mathbb{C}P^p(4) $ から $ \mathbb{C}P^{h+p+hp}(4) $ へのケーラー的埋め込みであり、$ h=p=1 $ の場合、複素二次曲面 $ Q_2 \subset \mathbb{C}P^3 $ を与える。
• 部分セグレ写像 $ C_{hp}^\alpha $ は $ z^\alpha \boxtimes w \boxplus z^\alpha_\perp $ を介して、複素ユークリッド空間内でのCRワーペッド積を生成する。
• 複素射影空間内での標準的部分セグレ $ CR $-埋め込みは、不等式 $ \|\sigma\|^2 \geq 2p\|\nabla(\ln f)\|^2 $ において等号を達成し、最適な幾何的構成を特徴づける。
• 単位速度曲線 $ z $ と球面埋め込み $ x $ を用いた複素拡張子 $ \tau = z \boxtimes x $ は、$ \mathbb{C}^m $ 内のラグランジュ部分多様体を生成する。
• $ \mathbb{C}^{n+1} $ 内の実超曲面で、複素超曲面 $ N $ と区間 $ I $ のワーペッド積 $ N \times_f I $ として表されるものは、部分セグレ埋め込み $ (a\gamma \boxtimes z^1) \boxplus z^1_\perp $ であるか、または積 $ \mathbb{C}^n \times C $ である。
• ねじれセグレ写像 $ z \boxtimes \bar{z} $ は、$ \mathbb{C}P^n(2) $ から $ \mathbb{C}P^{n(n+2)}(4) $ への完全に実の等長埋め込みを与える。また、$ \psi \boxtimes \bar{\psi} $ は、ケーラー的埋め込みの共役を介して完全に実部分多様体を生成する。