[論文レビュー] Segre embeddings, Hilbert series and Newcomb's problem

Marcel Moralès|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Segre埋め込みのトーリック環のヒルベルト系列のh-ベクトルが、多重順列の降り方（descents）を数える組合せ論的対象であるサイモン・ニューカンブ数に等しいことを示すことにより、代数幾何学と組合せ論の間に深い関係を確立する。グレブナー基底理論と初期イデアルを用いて、サイモン・ニューカンブ数の正の整数による公式を導出し、組合せ確率論における未解決問題を解決するとともに、関連するトーリックイデアルのベッチ数と結びつける。

ABSTRACT

Monomial ideals and toric rings are closely related. By consider a Grobner basis we can always associated to any ideal $I$ in a polynomial ring a monomial ideal ${ m in}_\prec I$, in some special situations the monomial ideal ${ m in}_\prec I$ is square free. On the other hand given any monomial ideal $I$ of a polynomial ring $S$, we can define the toric $K[I]\subset S$. In this paper we will study toric rings defined by Segre embeddings, we will prove that their $h-$ vectors coincides with the so called Simon Newcomb number's in probabilities and combinatorics. We solve the original question of Simon Newcomb by given a formula for the Simon Newcomb's numbers involving only positive integer numbers.

研究の動機と目的

• Segre埋め込みから得られるトーリック環を用いて、サイモン・ニューカンブ数の明確な代数的幾何的解釈を確立すること。
• ニューカンブが提起した元々の未解決問題を、正の整数のみを用いてその数の公式を導出することにより解決すること。
• Segreトーリック環のヒルベルト系列のh-ベクトルが、正確にサイモン・ニューカンブ数A([b], k)に一致することを示すこと。
• Segre埋め込みの定義イデアルのベッチ数を、これらの組合せ的不変量を用いて特徴づけること。
• ベッチ数がSegre埋め込みのサイズに応じて増加することを示し、単調性の性質を確立すること。

提案手法

• 次元b1, ..., bnの射影空間の積のSegre埋め込みに対応する超立方体M = {0,...,b1} × ... × {0,...,bn} ⊂ ℕ^nに付随するトーリックイデアルI_Mを構成する。
• グレブナー基底理論を用いて、ある項順序≺が存在し、in_≺(I_M)が平方自由であることを示し、初期複体Δ_≺(I_M)が正則なユニモジュラー三角形分割であることを示す。
• Δ_≺(I_M)の面が、サイモン・ニューカンブのカード裏返しプロセスにおける「上昇」または「山」と一対一に対応することを証明する。
• ヒルベルト系列の公式を適用し、トーリック環S/I_Mのh-多項式の係数がサイモン・ニューカンブ数A([b], k)に等しいことを示す。
• h_k = ∑_{j=0}^k (-1)^j (d choose j) H_{S/I_M}(k−j) の公式を用いて、ヒルベルト関数からh-ベクトルを計算する。
• コーエン＝マカウル再結合性と多重次数構造を活用し、トーリック関手とシュール表現を介してベッチ数をサイモン・ニューカンブ数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Segreトーリック環S/I_Mのヒルベルト系列のh-ベクトルは、サイモン・ニューカンブ数の組合せ論的解釈として解釈可能か？
• RQ2 サイモン・ニューカンブ数A([b], k)の正の整数による公式は存在するか？ これはニューカンブが提起した元々の問題を解決する。
• RQ3 Segre埋め込みの定義イデアルのベッチ数は、多重順列の順序の降り方の組合せ論的性質を反映しているか？
• RQ4 射影空間の次元が増加するにつれて、トーリックイデアルのベッチ数はどのように変化するか？
• RQ5 Segreトーリックイデアルの最小自由分解は純粋であるか？ もしそうならば、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• Segreトーリック環S/I_Mのヒルベルト系列のh-ベクトルは、正確にサイモン・ニューカンブ数A([b], k)の列に一致し、これらの組合せ論的数の直接的な代数的幾何的実現を提供する。
• 正の整数のみを用いたサイモン・ニューカンブ数の新しい公式が導出された：A([b], k) = ∑_{j=0}^k (-1)^j (d choose j) H_{S/I_M}(k−j)，ここでd = dim(S/I_M)である。
• ベッチ数β_{p,q}(R_{[b]})は非ゼロであり、埋め込みのサイズに応じて増加する。特に、b' ≥ b（成分ごとの大小関係）を満たすとき、β_{p,q}(R_{[b']}) ≥ β_{p,q}(R_{[b]}) が成り立つ。
• イデアルJ_{[b]}のベッチ図は、右上隅に非ゼロで対称的な構造を持つ。特にβ_{c([b]), c([b])+reg(R_{[b]})}(R_{[b]}) = A([b], reg(R_{[b]})) ≠ 0 が成り立つ。
• 最小自由分解J_{[b]}が純粋であるのは、n=3かつb1=b2=b3=1のときであり、これは明示的なベッチ図の計算によって示された。
• n ≥ 3のとき、すべての[b]に対してβ_{3,6}(J_{[b]}) ≠ 0であり、この非ゼロ性はより大きな埋め込みへと伝播する。