[論文レビュー] Segre Numbers and Hypersurface Singularities

Terence Gaffney, Robert Gassler|ArXiv.org|Nov 1, 1996

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 11被引用数 63

ひとこと要約

この論文は、非有限余長のイデアルの不変量としてセグレ数を導入し、古典的な多重度を一般化する。セグレ数の上半連続性を確立し、特異点の等価特異性理論に応用することで、相対的極小多重度とリェ数の定数性がホイットニー正則性および非孤立特異点をもつ超曲面族における $W_f$ 条件を意味することを示す。

ABSTRACT

We define the Segre numbers of an ideal as a generalization of the multiplicity of an ideal of finite colength. We prove generalizations of various theorems involving the multiplicity of an ideal such as a principle of specialization of integral dependence, the Rees-Böger theorem, and the formula for the multiplicity of the product of two ideals. These results are applied to the study of various equisingularity conditions, such as Verdier's condition W, and conditions $A_f$ and $W_f$.

研究の動機と目的

• セグレ数を用いて、有限余長でないイデアルへの多重度概念の一般化を図ること。
• リースの定理や積分閉包の専用原理といった古典的定理を、この一般化された設定に拡張すること。
• 非孤立特異点をもつ超曲面族における $W_f$、$A_f$、ホイットニー条件といった等価特異性条件を研究するため、これらの不変量を応用すること。
• ヤコビアンイデアルのセグレ数とリェ数や極小多重度といった幾何的不変量との間の関係を確立すること。
• 重要な不変量の定数性がホイットニー正則性および $W_f$ 条件を意味することを証明し、パルシニスキの予想を満たすこと。

提案手法

• 交線論を用いてセグレ数を定義：イデアルに沿った吹き上げの特異的除算と一般の超平面の交わりをとり、基底に押し上げ、重複度をとる。
• 積分的従属の専用原理（定理4.6で一般化）を用い、イデアルのセグレ数とその還元のセグレ数との関係を導出する。
• 極小多重度を用いて $I \cdot J$ のセグレ数を $I$ と $J$ のセグレ数に関連づけ、ティエッセイエの混合多重度公式を一般化する。
• 超曲面族を定義する関数 $f$ のヤコビアンイデアル $J(f)$ に理論を適用し、セグレ数とリェ数および相対的極小多重度との関係を導出する。
• 接錐への変形を用い、$f$ の不変量とその初期形 $f_0$ の不変量との関係を確立し、退化における不変性を証明する。
• 極小横断性とセグレ数の上半連続性を用い、吹き上げにおける特異的除算の挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しい不変量のセットを用いて、有限余長でないイデアルへの多重度概念の拡張は可能か？
• RQ2 セグレ数は、多重度、混合多重度、リェ数といった古典的不変量とどのように関係するか？
• RQ3 セグレ数にどのような条件が満たされると、超曲面族におけるホイットニー正則性または $W_f$ 条件が保証されるか？
• RQ4 相対的極小多重度とリェ数の定数性が、家族全体にわたる等価特異性を保証するか？
• RQ5 接錐への変形がホイットニー正則性を保存する条件の幾何的特徴づけは可能か？

主な発見

• イデアルのセグレ数は、多重度の半連続性を一般化した辞書的上半連続性を満たす。
• $J(f_t)$ のセグレ数は $f_t$ のリェ数に一致し、その交項和はミルナー多様体のオイラー標数に等しい。
• $f_t$ の相対的極小多重度と $f_t$ のリェ数が定数であることは、$W_f$ 条件が成り立ち、関連するすべてのストラトムがホイットニー正則であることに同値である。
• $X$ の滑らかストラトム、その特異点集合 $\Sigma(X)$、および $\Sigma(\Sigma(X))$ の codim 1 成分がパラメータ空間上でホイットニー正則であるならば、相対的極小多重度とリェ数は定数である。
• 接錐への変形 $\mathcal{X} \to \mathbb{C}$ がパラメータ軸に沿ってホイットニー同値特異性をもつのは、$m_1(f)^2 = \lambda_2(f) + m_2(f)$ かつ $m_1(f)^3 = \lambda_3(f) + m_1(f)\lambda_2(f)$ が成り立つときである。
• 証明により、パルシニスキの予想、すなわち $W_f$ 条件がリェ数の定数性から導かれる、が新しいセグレ数と極小多重度の枠組みを用いて裏付けられた。