[論文レビュー] Seiberg-Witten invariants and surface singularities II. Singularities with good $\C^*$-action

András Némethi, Liviu I. Nicolaescu|ArXiv.org|Jan 14, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、正則な表面特異点のリンクのSeiberg-Witten不変量とその幾何的 genus の間の予想を検証し、canonical spin^c 構造を用いた幾何的 genus の位相的公式を確立する。特異点に良い ℂ*-作用がある場合、リンクのSeiberg-WittenモノポールとReidemeister-Turaev torsion をSeifert不変量の形で計算し、このような特異点の完全な位相的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

This is a continuation of our paper math.AG/0111298. We prove an explicit formula for the geometric genus p_g of a quasihomogeneous isolated surface singularity in terms of the Seiberg-Witten invariant of the link and other topological data which can be read from a resolution graph of the singularity. Moreover, we also determine all the Reidemeister-Turaev sign-refined torsion of the link (associated with any spin^c structure) in terms of the Seifert invariants.

研究の動機と目的

• 良い ℂ*-作用をもつ正則な表面特異点の幾何的 genus とそのリンクのSeiberg-Witten不変量との間の[18]における予想を検証すること。
• canonical spin^c 構造および自然なThurston計量に関して、リンクに関連するSeiberg-Wittenモノポールを計算すること。
• 任意の spin^c 構造に対して、Seifert不変量を用いてリンクのReidemeister-Turaev符号修正 torsion を決定すること。
• Gorenstein特異点で有理数ホモロジー球面リンクをもつ場合の幾何的 genus の位相的公式を確立すること。

提案手法

• 特異点の穴あき近傍におけるほぼ複素構造から誘導されるリンク上のcanonical spin^c 構造を使用する。
• 有理数ホモロジー球面リンクに対して、Casson-Walker不変量とReidemeister-Turaev torsion を含むSeiberg-Witten不変量の公式を適用する。
• 解体グラフとSeifert不変量を用いて、特に良い ℂ*-作用をもつ特異点のリンクの位相をパrametrizeする。
• Dedekind和と整数の線形形式の床関数を含む生成関数のローラン展開を導出し、Seiberg-Wittenおよび torsion 不変量を計算する。
• Spin^c(M) の H- torsor 構造を用いて、群の特徴指標作用により canonical spin^c 構造からの結果をすべての他の構造へと拡張する。
• 生成関数の t→1 における極限の明示的公式を適用し、torsion および Seiberg-Witten 不変量を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 良い ℂ*-作用をもつ正則な表面特異点の幾何的 genus は、そのリンクのSeiberg-Witten不変量を用いて、純粋に位相的に表現可能か？
• RQ2 リンクのSeiberg-Wittenモノポールは、そのSeifert不変量および canonical spin^c 構造とどのように関係するか？
• RQ3 リンクのReidemeister-Turaev符号修正 torsion の完全な集合は何か？ そして、それらはSeifert不変量によってどのように決定されるか？
• RQ4 Gorenstein特異点で良い ℂ*-作用をもつ場合、幾何的 genus の予想される位相的上界は、等号をとるのか？

主な発見

• 良い ℂ*-作用をもつ任意の正則な表面特異点の幾何的 genus は、canonical spin^c 構造に関するリンクのSeiberg-Witten不変量によって位相的に決定される。
• canonical spin^c 構造およびThurston計量に関して、リンクのSeiberg-Wittenモノポールは、Seifert不変量の明示的式として計算可能である。
• 任意の spin^c 構造に対するReidemeister-Turaev符号修正 torsion は、Dedekind和と整数の線形形式の床関数を含むローラン展開の公式によって決定される。
• canonical Seiberg-Witten不変量は、予想される不等式を満たし、Gorenstein特異点では等号が成立するため、上界の位相的厳密性が確認された。
• torsion 不変量の公式は、整数 l に関する和を含み、線形式の床関数を含む。この和は、Seifert不変量と spin^c 構造に依存する有理数に収束する。
• 生成関数の t→1 における極限は torsion 不変量を与えるが、オイラー特性およびリンクのオイラー数を含む補正項が存在する。