[論文レビュー] Seiberg-Witten invariants and surface singularities III. Splicings and cyclic covers

András Némethi, Liviu I. Nicolaescu|ArXiv.org|Jul 2, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$g(x,y,z) = f(x,y) + z^n$ の形のサスペンション特異点における位相的および解析的不変量の間の予想を検証する。Casson-Walker不変量および符号修正型 Reidemeister-Turaev torsionのスプライシング公式を用いて、$g$ に関連するリンク $M$ の標準 $ {spin}^c$ 構造における修正 Seiberg-Witten 不変量が $-\sigma(F)/8$ に等しいことを証明する。ここで $ {sign}(F)$ は $g$ のミルナー繊維の符号である。これにより、このような特異点における幾何的 genus の位相的不変性が確立される。

ABSTRACT

We verify the conjecture formulated in math.AG/0111298 for suspension singularities of type $g(x,y,z)= f(x,y)+z^n$, where $f$ is an irreducible plane curve singularity. More precisely, we prove that the modified Seiberg-Witten invariant of the link $M$ of $g$, associated with the canonical $spin^c$ structure, equals $-σ(F)/8$, where $σ(F)$ is the signature of the Milnor fiber of $g$. In order to do this, we prove general splicing formulae for the Casson-Walker invariant and for the sign refined Reidemeister-Turaev torsion (in particular, for the modified Seiberg-Witten invariant too). These provide results for some cyclic covers as well. As a by-product, we compute all the relevant invariants of $M$ in terms of the Newton pairs of $f$ and the integer $n$.

研究の動機と目的

• サスペンション特異点のリンクの修正 Seiberg-Witten 不変量がそのミルナー繊維の符号とどのように関係するかを検証すること。
• Casson-Walker 不変量および符号修正型 Reidemeister-Turaev torsion に対する一般化されたスプライシング公式を確立し、特に巡回被覆に対しても含むこと。
• $g(x,y,z) = f(x,y) + z^n$ のリンク $M$ の位相的不変量を $f$ のニュートン対および整数 $n$ を用いて表現すること。
• このような特異点の幾何的 genus が位相的である、すなわちリンクの位相のみに依存するものであることを示すこと。

提案手法

• プラミンググラフおよび $\mathbb{Q}$-ホモロジー球面構造を用いて、Casson-Walker 不変量および符号修正型 Reidemeister-Turaev torsion の一般スプライシング公式を導出すること。
• これらの公式をサスペンション特異点から生じる 3 次元多様体の巡回被覆に適用すること。
• 解体グラフ上の帰納的技法を用いて、$h_k$ および $d_k$ を含む再帰的関係式を通じて、修正 Seiberg-Witten 不変量 $\mathbf{sw}^0_M(\sigma_{\text{can}})$ を計算すること。
• 既知の結果 [31] および [29] に依拠し、検証を個々の Seifert 繊維空間 $\Sigma(p_k, a_k, n/d_k)$ に還元すること。
• 恒等式 $\mathcal{T}_{M,\sigma_{\text{can}}}(1) = \text{符号修正型 torsion}$ を用い、$\mathbf{sw}^0 = \mathcal{T} - \lambda$ を通じて修正 Seiberg-Witten 不変量と関連付けること。
• 公式 $\mathbf{sw}^0_M(\sigma_{\text{can}}) = \sum_{k=1}^s d_k \cdot \mathbf{sw}^0_{\Sigma(p_k,a_k,n/d_k)}(\sigma_{\text{can}})$ を用いて、問題を基本ケースに還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サスペンション特異点 $g(x,y,z) = f(x,y) + z^n$ のリンクの修正 Seiberg-Witten 不変量は、$g$ のミルナー繊維の符号 $ {sign}(F)$ に対して $-\sigma(F)/8$ に等しいか？
• RQ2 Casson-Walker 不変量および符号修正型 Reidemeister-Turaev torsion は、$\mathbb{Q}$-ホモロジー球面に対してスプライシング公式により計算可能か？
• RQ3 有理ホモロジー球面リンクをもつサスペンション特異点の幾何的 genus は位相的不変量か？
• RQ4 リンク $M$ の不変量は、平面曲線特異点 $f$ のニュートン対および指数 $n$ から明示的に計算可能か？
• RQ5 このような特異点から生じる 3 次元多様体の巡回被覆に対して、$\mathbf{sw}^0$ のスプライシング公式は成り立つか？

主な発見

• サスペンション特異点 $g(x,y,z) = f(x,y) + z^n$ のリンク $M$ の修正 Seiberg-Witten 不変量は、$-\mathbf{sw}^0_M(\sigma_{\text{can}}) = \sigma(F)/8$ を満たす。ここで $ {sign}(F)$ は $g$ のミルナー繊維の符号である。
• 特異点 $\{g=0\}$ の幾何的 genus $p_g$ は位相的であり、$p_g = \mathbf{sw}^0_M(\sigma_{\text{can}}) - (K^2 + \#\mathcal{V})/8$ で与えられる。ここで $K^2 + \#\mathcal{V}$ はプラミンググラフの不変量である。
• 修正 Seiberg-Walker 不変量はスプライシング公式 $\mathbf{sw}^0_{M_{(s)}}(\sigma_{\text{can}}) = h_s \cdot \mathbf{sw}^0_{M_{(s-1)}}(\sigma_{\text{can}}) + \mathbf{sw}^0_{\Sigma(p_s,a_s,n)}(\sigma_{\text{can}})$ を満たし、一般化して $\mathbf{sw}^0_M(\sigma_{\text{can}}) = \sum_{k=1}^s d_k \cdot \mathbf{sw}^0_{\Sigma(p_k,a_k,n/d_k)}(\sigma_{\text{can}})$ となる。
• リンク $M$ の不変量は、$f$ のニュートン対および整数 $n$ から、解体グラフの再帰的構造を介して完全に計算可能である。
• 符号修正型 Reidemeister-Turaev torsion $\mathcal{T}_{M,\sigma_{\text{can}}}(1)$ は、$n$ に関して準周期的関数であり、$n p_1(n) + p_2(n)$ の形をとり、$p_1, p_2$ は周期的であることが示された。
• 結果として、[31] の予想がサスペンション特異点に対して確認され、Fintushel-Stern および Neumann-Wahl の先行結果が $\mathbb{Q}$-ホモロジー球面の場合に拡張された。