[論文レビュー] Seiberg-Witten theory on 4-manifolds with periodic ends

Diogo Veloso|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、周期的端を持つ4次元多様体に対して、コhomotopical Seiberg-Witten理論の新枠組みを確立する。主な解析的結果として、トポロジー的および曲率的条件下でのラプラシアンおよびディラック作用素のフレドホルム性、重み付きソボレフ空間におけるホッジ型分解、Seiberg-Witten写像の強制性およびコンパクト性を証明する。これらの結果により、非コンパクトなこのクラスの4次元多様体に対する新しいSeiberg-Witten型コホモトピー不変量の定義が可能となる。

ABSTRACT

In this thesis we prove analytic results about a cohomotopical Seiberg-Witten theory for a Riemannian, Spin$^c$(4), 4-manifold with periodic ends, $(X, g, τ)$ . Our results show that, under certain technical assumptions on $(X, g, τ)$, this new version is coherent and leads to Seiberg-Witten type invariants for this new class of 4-manifolds. In the first part, using Taubes criteria for end-periodic operators, we show that for a Riemannian 4-manifold with periodic ends, $(X, g)$, verifying certain topological conditions, the Laplacian, $Δ_+ : L^2_2({Λ^2}_+) ightarrow L^2({Λ^2}_+)$, is a Fredholm operator. This allows us to prove a Hodge type decomposition for positively weighted Sobolev 1-forms on $(X,g)$. We also prove, assuming non-negative scalar curvature on each end and certain technical topological conditions, that the associated Dirac operator associated with an end-periodic connection (which is ASD at infinity) is Fredholm. In the second part we establish an isomorphism between the de Rham cohomology group, $H^{1}_{\mathrm{dR}}(X,i\mathbb{R})$ (which is a topological invariant of X) and the harmonic group intervening in the above Hodge type decomposition of the space of positively weighted 1-forms on $(X,g)$. We also prove two short exact sequences relating the gauge group of the Seiberg-Witten moduli problem and the cohomology group $H^{1}(X, 2πi\mathbb{Z})$. In the third part, we prove the main results: the coercivity of the Seiberg-Witten map and the compactness of the moduli space for a 4-manifold with periodic ends, $(X,g,τ)$, verifying the above conditions. Finally, using the coercitivity property, we show that a Seiberg-Witten type cohomotopy invariant associated to $(X, g, τ)$ can be defined

研究の動機と目的

• 周期的端を持つ非コンパクト4次元多様体へSeiberg-Witten理論を拡張すること。標準的なコンパクト性およびフレドホルム理論が成立しない状況である。
• このような多様体上での新しいバージョンのSeiberg-Witten理論のための解析的基盤を確立すること。具体的にはフレドホルム性とホッジ分解の研究。
• 曲率およびトポロジー的条件の下で、Seiberg-Witten写像の強制性とコンパクト性を証明し、不変量の構成を可能とする。
• Okonek-Teleman形式的枠組みを用いて、コホモトピー不変量を定義し、コンパクトな場合の一般化を周期的端を持つ多様体に拡張する。
• 将来の明示的計算および不変量の構造的解析の土台を築く。これは根本的に異なる技法を要する。

提案手法

• 端周期的作用素のTaubesによるフレドホルム基準を適用し、重み付き$L^2_2$形式上で正のラプラシアン$\Delta_+$がトポロジー的仮定の下でフレドホルムであることを示す。
• $X$上での正の重み付きソボレフ1形式に対してホッジ型分解を証明し、調和空間$\mathbb{H}^1_w$とde Rhamコホモロジー$H^1_{dR}(X,i\mathbb{R})$を関連付ける。
• 非負スカラー曲率およびトポロジー的条件の下で、端周期的接続が無限遠で自己双対的である場合のディラック作用素のフレドホルム性を確立する。
• Kronheimer-Mrowkaのコンパクトな場合の技法を用い、Seiberg-Witten写像のエネルギー恒等式および収束補題を導出する。
• $L^1_{\text{loc}}$および$L^2$型空間における弱収束および強収束補題を用いて、トーラス$B$上でのSeiberg-Witten写像$\mu_{SW}$の強制性を証明する。
• Okonek-Teleman形式的枠組みを適用し、摂動されたSeiberg-Witten写像によって誘導される強制的かつ等長的バンドル写像から、コホモトピー不変量$\{\mu_{SW_\eta}\}$を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト幾何における適応された解析的手法を用いて、周期的端を持つ4次元多様体へSeiberg-Witten理論を拡張することは可能か？
• RQ2 どのような条件下で、$X$上でのラプラシアン$\Delta_+$が重み付きソボレフ空間上でフレドホルム作用素となるか？
• RQ3 周期的端を持つ4次元多様体上での$L^2$-ソボレフ1形式に対して、どのようにホッジ型分解を確立できるか？
• RQ4 端周期的ASD接続に関連するディラック作用素のフレドホルム性が保証される条件は何か？
• RQ5 Seiberg-Witten写像が強制的であり、そのモジュライ空間がコンパクトであることを示すことは可能か？その場合、不変量の構成が可能となるか？

主な発見

• トポロジー的条件の下で、周期的端を持つ4次元多様体上でのラプラシアン$\Delta_+ : L^2_2(\Lambda^2_+) \to L^2(\Lambda^2_+)$はフレドホルム作用素である。
• 正の重み付きソボレフ1形式に対してホッジ型分解が成り立ち、調和空間$\mathbb{H}^1_w$はde Rhamコホモロジー群$H^1_{dR}(X,i\mathbb{R})$に同型である。
• 各端でスカラー曲率が非負であり、特定のトポロジー的条件を満たす場合、端周期的ASD接続に関連するディラック作用素はフレドホルムである。
• ゲージ群とコホモロジー群$H^1(X,2\pi i\mathbb{Z})$を結ぶ2つの短完全列が確立された。
• 各端$e$に対して$H_1(W_e,\mathbb{Z})$が torsion であるとき、幾何的およびトポロジー的仮定の下で、トーラス$B$上でのSeiberg-Witten写像$\mu_{SW}$は強制的である。
• 摂動された写像$\mu_{SW_\eta}$が強制的かつ適切である場合、一般の$\eta$に対して、Okonek-Teleman形式的枠組みを用いてコホモトピー不変量$\{\mu_{SW_\eta}\}$を定義できる。