[論文レビュー] Seidel switching for weighted multi-digraphs and its quantum perspective

Supriyo Dutta, Bibhas Adhikari+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、重み付き多重有向グラフへのシーデルスイッチングの一般化を行い、ユニタリ操作としての性質を示し、同スペクトルのラプラシアンおよび符号なしラプラシアン行列を生成することを示している。これにより、同一のスペクトルを持つ密度行列が得られる。主な貢献は、シーデルスイッチングに量子的解釈を提示し、CNOTゲート（順序4）において最大のエンタングルメント生成能力を持つグローバルユニタリ操作としての性質を示したことである。一方、行列の順序が増加するに従い、エンタングルメント強度は指数関数的に減少する。

ABSTRACT

Construction of graphs with equal eigenvalues (co-spectral graphs) is an interesting problem in spectral graph theory. Seidel switching is a well-known method for generating co-spectral graphs. From a matrix theoretic point of view, Seidel switching is a combined action of a number of unitary operations on graphs. Recent works [1] and [2] have shown significant connections between graph and quantum information theories. Corresponding to Laplacian matrices of any graph there are quantum states useful in quantum computing. From this point of view, graph theoretical problems are meaningful in the context of quantum information. This work describes Seidel switching from a quantum perspective. Here, we generalize Seidel switching to weighted directed graphs. We use it to construct graphs with equal Laplacian and signless Laplacian spectra and consider density matrices corresponding to them. Hence Seidel switching is a technique to generate cospectral density matrices. Next, we show that all the unitary operators used in Seidel switching are global unitary operators. Global unitary operators can be used to generate entanglement, a benchmark phenomena in quantum information processing.

研究の動機と目的

• 重み付き有向グラフに多重辺およびループを含めたシーデルスイッチングの拡張。
• ラプラシアンおよび符号なしラプラシアン行列の下で、シーデルスイッチングが同スペクトルのグラフを生成することの証明。
• シーデルスイッチングに量子力学的解釈を提示し、グローバルユニタリ操作としての性質を確立すること。
• シーデル演算子のエンタングルメント生成強度を分析し、量子情報処理と関連付けること。
• 同スペクトルの密度行列が量子状態の識別可能性およびエンタングルメント精製に与える影響を検討すること。

提案手法

• 実数の重みとループをもつ隣接行列を用いて、重み付き多重有向グラフへのシーデルスイッチングの一般化。
• ラプラシアン行列 L(G) = D(G) - A(G) および符号なしラプラシアン行列 Q(G) = D(G) + A(G) を定義。
• これらの行列から密度行列 ρₗ(G) = L(G)/trace(L(G)) および ρq(G) = Q(G)/trace(Q(G)) を構築。
• シーデルスイッチングを、グラフ状態全体に作用するユニタリ操作の系列として表現。
• 得られるユニタリ演算子のシュミット強度 K_Sch および WZ エンタングルメント測度 K_WZ を分析。
• 特に CNOT ゲート（順序4）に注目し、異なる順序のシーデル演算子間でのエンタングルメント生成を比較。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループおよび多重有向辺を含む重み付き多重有向グラフに対し、シーデルスイッチングを一般化できるか？
• RQ2 ラプラシアンおよび符号なしラプラシアン行列の下で、シーデルスイッチングがどのように同スペクトルのグラフを生成するか？
• RQ3 シーデルスイッチングをユニタリ変換としての量子力学的解釈は可能か？
• RQ4 シーデル演算子のエンタングルメント生成強度は何か？また、行列の順序に従ってどのように変化するか？
• RQ5 分離状態の初期状態から、シーデルスイッチングを用いて最大エンタングルメント状態を生成できるか？

主な発見

• 重み付き多重有向グラフにおいて、シーデルスイッチングはラプラシアンおよび符号なしラプラシアン行列の下で同スペクトルのグラフを生成する。
• シーデルスイッチングの背後にあるユニタリ操作はグローバルなものであり、局所的ではなくシステム全体に作用する。
• CNOT ゲート（シーデル演算子の順序4に相当）は、最大のシュミット強度 K_Sch = 1 を達成し、最大のエンタングルメント生成を実現する。
• シーデル演算子の順序が増加するに従い、エンタングルメント強度 K_Sch は指数関数的に減少する。
• WZ エンタングルメント測度 K_WZ は K_Sch のおおよそ半分に比例し、一貫したエンタングルメントの傾向を確認する。
• シュミット強度 K_Sch はエンタングルメント生成強度 K_E(U) の下界として機能し、行列の順序に従いエンタングルメントが指数関数的に減少することを支持する。