[論文レビュー] Seismic Imaging and Optimal Transport

Björn Engquist, Yunan Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、従来の $L^2$-ノルム手法に内在する局所的最小値問題を克服するため、全波形反転（FWI）における不一致関数として二次 Wasserstein 距離 ($W_2$) を提案する。最適輸送理論を活用し、Monge-Ampère 方程式を数値的に解くことで、$W_2$ はより優れた凸性とノイズ耐性を実現し、極めて平滑化された初期モデルからでも正確な逆問題が可能となる。2次元の合成 Marmousi モデルおよび層状モデルにおいて、トレースごとの $W_2$ 計算が $L^2$ よりも収束性とアーチファクト抑制において優れていることが実証された。

ABSTRACT

Seismology has been an active science for a long time. It changed character about 50 years ago when the earth's vibrations could be measured on the surface more accurately and more frequently in space and time. The full wave field could be determined, and partial differential equations (PDE) started to be used in the inverse process of finding properties of the interior of the earth. We will briefly review earlier techniques but mainly focus on Full Waveform Inversion (FWI) for the acoustic formulation. FWI is a PDE constrained optimization in which the variable velocity in a forward wave equation is adjusted such that the solution matches measured data on the surface. The minimization of the mismatch is usually coupled with the adjoint state method, which also includes the solution to an adjoint wave equation. The least-squares norm is the conventional objective function measuring the difference between simulated and measured data, but it often results in the minimization trapped in local minima. One way to mitigate this is by selecting another misfit function with better convexity properties. Here we propose using the quadratic Wasserstein metric as a new misfit function in FWI. The optimal map defining the quadratic Wasserstein metric can be computed by solving a Monge-Ampere equation. Theorems pointing to the advantages of using optimal transport over the least-squares norm will be discussed, and a number of large-scale computational examples will be presented.

研究の動機と目的

• 従来の $L^2$ 不一致関数に起因する、FWI における局所的最小値問題に取り組むこと。
• 二次 Wasserstein 距離 ($W_2$) に $L^2$ ノルムを置き換えることで、FWI の凸性と耐性を向上させること。
• 地震波反転の文脈において、Monge-Ampère 方程式を用いた $W_2$ の数値計算手法を開発・検証すること。
• ノイズが多く、極めて平滑化された初期データからも、正確な地下速度モデルを回復できるかどうかを実証すること。
• 収束速度、アーチファクト抑制、ノイズへの感受性の観点から、トレースごとの $W_2$ とグローバル $W_2$、$L^2$ を比較すること。

提案手法

• FWI における新しい不一致関数として、二次 Wasserstein 距離 ($W_2$) を提案し、標準的な $L^2$ ノルムに置き換える。
• Monge-Ampère 方程式を用いて $W_2$ を定義する最適輸送マップを計算し、随伴状態法を用いて勾配を計算可能にする。
• 各 FWI イテレーションにおいて、有限差分ソルバーを用いて Monge-Ampère 方程式の数値解を近似する。
• 各受信点トレースごとに独立に $W_2$ を計算するトレースごとの $W_2$ アプローチを導入し、正確な1次元最適輸送解を用いる。
• モデル更新に L-BFGS を最適化アルゴリズムとして採用し、$W_2$ 勾配から得られる随伴源を用いる。
• 特に高次元において数値的安定性を確保するため、Monge-Ampère 方程式の数値解法に適したデータフィルタリングを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $W_2$ 距離は、$L^2$ ノルムと比較して、FWI における局所的最小値への収束確率を顕著に低減できるか？
• RQ2 2次元地震波モデルにおいて、グローバル $W_2$ とトレースごとの $W_2$ 近似の計算コストと精度はどのように比較されるか？
• RQ3 特に信号対雑音比が低い状況下で、$W_2$ はノイズへの耐性をどの程度向上させるか？
• RQ4 真の解から大きく離れた極めて平滑化された速度モデルから初期化された場合、$W_2$ を用いた FWI はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 実用的 FWI 応用において、Monge-Ampère 方程式の数値解法に与えるデータ正則化の影響は何か？

主な発見

• $W_2$ を用いた FWI は、局所的最小値を回避し、極めて平滑化された初期モデルからでもアーチファクトのない逆問題結果を生成する。一方、$L^2$ では不自然な高周波数アーチファクトが生じる。
• トレースごとの $W_2$ は20イテレーションで相対不一致を0.1まで低下させるが、$L^2$ はゆっくりと局所的最小値に収束し、持続的なアーチファクトを示す。
• $W_2$ 距離はノイズに感受性が低く、信号対雑音比が -3.47 dB であっても、真の Marmousi モデルの大部分の特徴を回復できる。
• グローバル $W_2$ 計算は、データの正則性要件と Monge-Ampère ソルバーの数値的安定性の制限により制限を受けるため、実世界の応用においてはトレースごとのアプローチがより実用的である。
• $W_2$ の随伴源は、Monge-Ampère 方程式の解から得られ、データ差分の非局所的かつ非線形な変換を含む。
• 数値的結果から、$W_2$ は $L^2$ よりも優れた凸性を示し、全波形反転におけるより高速かつ信頼性の高い収束を可能にする。