[論文レビュー] Seismic inverse scattering in the `wave-equation' approach

Christiaan C. Stolk, Maarten V. de Hoop|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2001

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 17被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、波動方程式アプローチを用いた地震逆散乱のための微局所解析フレームワークを構築し、滑らかな背景媒質における波動伝播をモデル化するための二重平方根（DSR）方程式に焦点を当てる。角変換によって生成される共通画像点 gathers がアーティファクトを含まず、DSR 方程式に基づく擬微分作用素の消去作用素が構築され、非水平な屈折経路条件下でも、地震画像処理におけるデータの冗長性を強固に活用するための厳密な数学的裏付けが得られる。

ABSTRACT

Seismic data are commonly modeled by a high-frequency single scattering approximation. This amounts to a linearization in the medium coefficient about a smooth background. The discontinuities are contained in the medium perturbation. The wave solutions in the background medium admit a geometrical optics representation. Here we describe the wave propagation in the background medium by a one-way wave equation. Based on this we derive the double-square-root equation, which is a first order pseudodifferential equation, that describes the continuation of seismic data in depth. We consider the modeling operator, its adjoint and reconstruction based on this equation. If the rays in the background that are associated with the reflections due to the perturbation are nowhere horizontal, the singular part of the data is described by the solution to an inhomogeneous double-square-root equation. We derive a microlocal reconstruction equation. The main result is a characterization of the angle transform that generates the common image point gathers, and a proof that this transform contains no artifacts. Finally, pseudodifferential annihilators based on the double-square-root equation are constructed. The double-square-root equation approach is used in seismic data processing.

研究の動機と目的

• 波動方程式アプローチを用いた地震逆散乱のための厳密な数学的枠組みを構築すること。
• 共通画像点 gathers に用いられる角変換の特性を特定し、それがアーティファクトを含まないことを証明すること。
• 二重平方根（DSR）方程式に基づく微局所再構成方程式を導出することにより、地震データの下方継続を実現すること。
• DSR フレームワーク内でデータの冗長性を活用する擬微分作用素の消去作用素を構築すること。
• 正規作用素が擬微分作用素である条件を確立し、媒質の摂動の微局所再構成を可能にする。

提案手法

• 一方向波動方程式を用いて背景媒質内での波動伝播をモデル化し、一階の擬微分作用素としての二重平方根（DSR）方程式を導出する。
• 屈折経路がどこも水平でない場合、地震データの特異部が非同次 DSR 方程式の解として得られることを導出する。
• 微局所解析を用いてモデリング作用素のコアの関係を特徴付け、関連するフーリエ積分作用素の可逆性を証明する。
• 主記号が 1 に等しい可逆なフーリエ積分作用素として作用するように変更された DSR 作用素（eAWE）を定義し、微局所再構成を可能にする。
• データの冗長性を活用する作用素の合成を用いて擬微分作用素の消去作用素を構築する。特に差分作用素 M = r − s を用いる。
• 修正された作用素の正則化逆作用素を適用し、すべての次数においてデータを消去する完全な消去作用素 W = K fM eK∗ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共通画像点 gathers に用いられる角変換は、波動方程式アプローチにおいて、厳密にアーティファクトを含まないと証明できるか？
• RQ2 媒質の摂動が存在する状況下で、二重平方根方程式が地震データをモデル化するために有効である条件は何か？
• RQ3 DSR 方程式からどのようにして、地震逆問題におけるデータ冗長性を活用する擬微分作用素の消去作用素を構築できるか？
• RQ4 屈折経路がどこも水平でない場合、再構成作用素の微局所的構造はどのようなものか？
• RQ5 波動方程式アプローチにおいて、正規作用素が擬微分作用素であることを示すことは可能か？これにより微局所的逆問題が可能になるか？

主な発見

• 共通画像点 gathers を生成する角変換が、波動方程式アプローチにおいてアーティファクトを含まず、キルヒホッフ法に基づく手法に起因する懸念を解消することが証明された。
• 二重平方根方程式が滑らかな背景媒質内での地震データの下方継続をモデル化する一階の擬微分作用素であることが示された。
• 微局所再構成作用素 eAWE が主記号が 1 に等しい可逆なフーリエ積分作用素であることが証明され、摂動の微局所的同値性のもとで正確な回復が保証された。
• すべての次数においてデータを消去する擬微分作用素の消去作用素 W = K fM eK∗ が構築され、W は背景媒質 c0 に依存する。
• 消去作用素 W[c0] は、差分相関関数の波動方程式版として機能し、データ整合性の定量的指標を提供する。
• 証明は、反射に伴う屈折経路がどこも水平でないという条件下で、モデリング作用素のコア関係の微局所的可逆性に依拠している。