[論文レビュー] Seismic Inversion and the Data Normalization for Optimal Transport

Björn Engquist, Yunan Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2018

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、最適輸送に基づく全波形反転（FWI）における重要な矛盾を解決するために、符号に敏感な正規化を提案する。この正規化は線形スケーリングと指数スケーリングを組み合わせ、信号構造を保持しながら最適輸送の要件を満たすことで、ロバストで凸な誤差関数の計算を可能にする。この手法により、理論的に望ましいが実用的でない正規化や、経験的に有効ではあるが凸でない代替手法に比べ、大規模な地震画像化テストにおいて優れた逆問題の結果が得られる。

ABSTRACT

Full waveform inversion (FWI) has recently become a favorite technique for the inverse problem of finding properties in the earth from measurements of vibrations of seismic waves on the surface. Mathematically, FWI is PDE constrained optimization where model parameters in a wave equation are adjusted such that the misfit between the computed and the measured dataset is minimized. In a sequence of papers, we have shown that the quadratic Wasserstein distance from optimal transport is to prefer as misfit functional over the standard $L^2$ norm. Datasets need however first to be normalized since seismic signals do not satisfy the requirements of optimal transport. There has been a puzzling contradiction in the results. Normalization methods that satisfy theorems pointing to ideal properties for FWI have not performed well in practical computations, and other scaling methods that do not satisfy these theorems have performed much better in practice. In this paper, we will shed light on this issue and resolve this contradiction.

研究の動機と目的

• 最適輸送FWIにおける理論的に最適な正規化手法とその実用的性能の悪さとの間の矛盾を解消すること。
• 主要な数学的性質（例：凸性、可微分性）を満たす一方で、現実の地震データセットでも良好に機能するデータ正規化技術を開発すること。
• 最適輸送に基づくFWIにおける線形スケーリング（実用的には有効だが凸でない）と2次/指数スケーリング（理論的には望ましいが不安定）の間のギャップを埋めること。
• 信号を確率測度に適切に変換することで、2次 Wasserstein 距離（$W_2$）を用いた安定で高分解能の地震逆問題を可能にすること。

提案手法

• 符号に敏感な新しい正規化を提案：$\tilde{f}(t) = \begin{cases} (f(t)+\frac{1}{c})/b, & f(t) \geq 0 \\ \frac{1}{c}\exp(cf(t))/b, & f(t) < 0 \end{cases}$、ここで $b$ は単位質量への正規化を保証する。
• 合成波形と観測波形の1次元トレースごとの最適輸送を用いて、$W_2$ 距離を計算する。
• アドジョイントステート法を用いて勾配を計算し、新しい正規化の$C^1$ 可微分性を活用して安定なバックプロパゲーションを実現する。
• 正の成分と負の成分の両方の情報を保持するために、合成目的関数 $J_4(m) = W_2^2(P(f), P(g)) + W_2^2(P(-f), P(-g))$ を導入する。
• パラメータ $c > 0$ を用いて線形と指数的挙動の遷移を制御し、データ範囲に基づいて調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 理論的に優位な正規化手法（例：凸性）が実際のFWIでは失敗するのに対し、理論的欠陥があるにもかかわらずより良い性能を示すのはなぜか？
• RQ2 線形スケーリングの凸性と指数スケーリングのロバスト性を併せ持つ正規化を設計できるか？
• RQ3 正規化の選択が、信号のシフトに関して$W_2$ 誤差関数の凸性に与える影響はいかほどか？
• RQ4 全波形反転における負の信号成分の保持が、逆問題の精度に与える影響は何か？

主な発見

• 提案された符号に敏感な正規化は$C^1$ 可微分性を達成しており、FWIにおける安定なアドジョイントステート勾配計算を可能にする。
• 数値実験の結果、新しい正規化は信号のシフトに関して$W_2$ 誤差関数の凸性を維持していることが確認され、図10で裏付けられている。
• Marmousiモデルのテストでは、新しい正規化（式24）を用いた$W_2$ は微細構造を的確に回復したが、$L^2$ 逆問題では誤った高周波数アーチファクトが生じた。
• 線形スケーリングは妥当なモデルに収束した（図8a）、一方で2乗ベースの正規化は局所最適解に陥った（図8b）ことから、新しい手法の実用的優位性が示された。
• 新しい正規化は中間的妥協策として機能する：$c$ が小さい場合、線形スケーリングに類似する。$c$ が大きい場合、正の成分のみを正規化する方法に近づき、信号ダイナミクスを保持する。