[論文レビュー] Selected problems on elliptic equations involving measures

Augusto C. Ponce|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、右辺が $ L^1 $ 関数ではなく、有限Borel測度である場合に、楕円型PDEの解の存在、正則性、構造を研究する。非線形Perron法を用いて、Dirichlet問題に対して許容可能な測度の中で最大の「縮小測度」の概念を導入し、それが解の存在に最も適した測度であることを証明する。また、弱い最大原理、Sobolev空間におけるコンパクト性、拡散測度の近似といった基礎的道具を確立する。

ABSTRACT

This monograph is the core of my book "Elliptic PDEs, Measures and Capacities: From the Poisson equation to Nonlinear Thomas-Fermi Problems" which has received the 2014 EMS Monograph Award and is available in the series EMS Tracts in Mathematics published by the European Mathematical Society. Many chapters have been thoroughly rewritten during the book preparation. The manuscript here has kept the original presentation and concerns linear and nonlinear Dirichlet problems involving $L^1$ data and more generally measure data, based on Stampacchia's definition of weak solution. I explain some of the main tools: linear regularity theory, maximum principles, Kato's inequality, method of sub and supersolutions, and the Perron method. The semilinear Dirichlet problem need not have a solution for every finite measure. I give characterizations of measures for which the problem has a solution with polynomial and exponential nonlinearities in connection with capacities and Hausdorff measures. Finally, the reader will find a different approach to the concept of reduced measure introduced in collaboration with H. Brezis and M. Marcus, which has not been retained in my EMS book due to personal time constraints.

研究の動機と目的

• 源項が $ L^1 $ 正則性を欠く場合に、測度データを伴う楕円型方程式を統一的に扱う枠組みを構築すること。
• 吸収項を伴う非線形Dirichlet問題において、縮小測度の役割を明確にし、それが解の存在に対して許容可能な最大の測度であることを示すこと。
• 古典的手法（最大原理、上・下解、Perron法）を $ L^1 $-解および測度データの弱い設定に適応すること。
• 測度データを伴う解に対して、弱い $ L^p $ 評価およびSobolev空間におけるコンパクト性を確立し、$ L^1 $ と $ W^{1, N/(N-1)} $ 正則性の間のギャップを埋めること。
• 多項式的および指数的型の非線形項（特に臨界定域および超臨界定域の成長）を、測度データのもとで体系的に取り扱うこと。

提案手法

• Dirichlet問題の弱い定式化を用いる：$ -\Delta u = \mu $ in $ \Omega $, $ u = 0 $ on $ \partial\Omega $, ここで $ \mu $ は有限Borel測度である。
• 非線形Perron法を用いて、上・下解を介して解を構成し、一意性に依存せずに存在を示す。
• 縮小測度 $ \mu^* $ を、すべての測度 $ \nu \leq \mu $ でDirichlet問題が解をもつようなものの中で、点ごとの上界として定義する。
• 容量論および擬連続性の概念を用いて、$ L^1(\Omega) $ における解の細かい性質を分析する。
• ChaconおよびRosenthalにインspされた「かじり法」型の議論を用いて、Sobolev空間における弱収束とコンパクト性を扱う。
• Hausdorff測度の均一近似を $ \mathcal{H}^s_\delta $ を用いて確立し、拡散測度を正則な測度で近似可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dirichlet問題 $ -\Delta u = \mu^* $, $ u = 0 $ on $ \partial\Omega $ が $ L^1(\Omega) $ 内に解をもつような、$ \mu^* \leq \mu $ の最大の測度 $ \mu^* $ は何か？
• RQ2 データ $ \mu $ が $ L^1 $ 関数ではなく測度である場合、最大原理および上・下解法はどのように適応可能か？
• RQ3 測度 $ \mu $ が $ L^1 $ 関数の列によって密度の意味で強く近似可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 非線形項 $ g(u) $ の成長に応じて、$ -\Delta u + g(u) = \mu $ の解の正則性はどのように変化するか、特に臨界定域および超臨界定域の場合に注目する。
• RQ5 拡散測度（例えば、容量ゼロの集合に台を持つもの）は、どのように $ L^1 $ 内の関数列で近似可能か？この文脈において、縮小測度の役割は何か？

主な発見

• 縮小測度 $ \mu^* $ は存在し、$ \nu \leq \mu $ でDirichlet問題 $ -\Delta u = \nu $ が $ L^1(\Omega) $ 内に解をもつような測度の中で最大である。
• 測度 $ \mu \in \mathcal{M}(\Omega) $ を伴う方程式 $ -\Delta u = \mu $ の解は、すべての $ 1 \leq q < \frac{N}{N-1} $ に対して $ W_0^{1,q}(\Omega) $ に属するが、必ずしも $ W^{1, N/(N-1)}(\Omega) $ には属しない。
• $ \mu \in L^1(\Omega) $ の場合、解 $ u $ は $ p < \frac{N}{N-1} $ に対して弱い $ L^p $ 評価を満たし、$ q < \frac{N}{N-1} $ に対して $ W_0^{1,q}(\Omega) $ でコンパクト性が成り立つ。
• 縮小測度は次の基本的性質を満たす：$ u $ が $ -\Delta u = \mu $ の下解であれば、$ u $ は $ -\Delta u = \mu^* $ の下解であり、$ \mu^* $ はこのような測度の中で最小である。
• 拡散測度に対して、解の存在のための必要十分条件は、その測度が $ W^{1, N/(N-1)} $-容量がゼロである集合上で消失することである。
• Hausdorff測度 $ \mathcal{H}^s $ で $ \mathcal{H}^s(A) < \infty $ である場合、それは有限Borel測度を誘導し、$ \mathcal{H}^s \lfloor_A $ は $ \delta \to 0 $ のとき $ \mathcal{H}^s_\delta \lfloor_A $ により一様近似可能である。