[論文レビュー] Selected results on selection principles

Ljubiša D. R. Kočinac|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 35被引用数 78

ひとこと要約

この論文は、位相における選択原理の最近の進展を概説し、相対的およびスター選択原理に焦点を当て、ゲーム理論、関数空間、ハイパースペースとの関連を検討する。主な結果として、強いフレシェ連続性による相対γ集合の特徴付けや、絶対的および相対的スター・フリューゲルト性質の違いを強調し、ℝにおける非可算相対γ集合の存在に関するZFCにおける決定不能性を示す。

ABSTRACT

We review some selected recent results concerning selection principles in topology and their relations with several topological constructions.

研究の動機と目的

• 古典的結果を超えた選択原理の最近の発展をレビューすること、特にScheepersの以前のレビューでカバーされていないものを対象とすること。
• 関数空間、ハイパースペース、ゲーム的性質などの位相的構成と選択原理の相互作用を調査すること。
• 特に相対γ集合および相対スター・フリューゲルト性質を含む相対的選択原理を調査し、それらが周囲空間Xに依存することを強調すること。
• スター選択原理の絶対的および相対的バージョンの違いを明確にし、相対的性質が厳密に弱いことを示すこと。
• ℝにおける非可算相対γ集合の存在に関する集合論的独立性を検討し、これがZFCにおいて決定不能であることを示すこと。

提案手法

• 位相空間の被覆族に対してS1(A,B)およびSfin(A,B)として形式化された選択原理を用いる。
• G1(ΩX, O^gp_Y)のようなゲーム的定式化を用いて選択原理と勝利戦略を特徴付ける。
• 集合論の概念、特に擬交差数 𝔪 および p(2^ω)、p(ω^ω) を用いて、積空間における相対γ集合を分析する。
• 強いスター・フリューゲルト性質のようなスター選択原理の相対的バージョンを導入・分析する。ここでY ⊆ X であり、Yに属する点はすべての星集合のうち有限個を除いて含まれる。
• 連続写像および強フレシェ連続性のような位相的性質を用いて、関数空間における相対γ集合を特徴付ける。
• Gerlits-Nagy、Borel、Millerらの既知の結果を用いて、ZFCにおける独立性結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間Xの部分空間YがXにおいて相対γ集合であるための条件は何か？ これは絶対的γ集合である場合とどのように異なるか？
• RQ2 選択原理S1(ΩX, ΓY)と評価写像π: Cp(X) → Cp(Y) の強フレシェ性質との関係は何か？
• RQ3 部分空間YがXにおいて相対的に強くスター・フリューゲルト的であるが、絶対的に強くスター・フリューゲルト的でない場合があるか？ そのような性質を実現する空間は何か？
• RQ4 ℝにおける非可算相対γ集合の存在はZFCにおいて決定可能か？ また、関係する基数不変量は何か？
• RQ5 基数p(2^ω)とp(ω^ω)は擬交差数 𝔪 とどのように関係し、どのような独立性結果が導かれるか？

主な発見

• Tychonoff空間Xの部分空間YがXにおいて相対γ集合であることは、評価写像π: Cp(X) → Cp(Y) が強くフレシェであることに同値である。
• 相対γ集合であるという性質は遺伝的であるが、絶対γ集合であるという性質は遺伝的でない。
• 空間X（Mrówka-Isbel Ψ空間）とその部分空間Yが存在し、YはXにおいて相対的に強くスター・フリューゲルト的であるが、絶対的に強くスター・フリューゲルト的ではない。
• ℝにおける非可算相対γ集合の存在はZFCにおいて決定不能である。これは基数p(2^ω)が𝔪から独立であるという事実によって示される。
• ZFCにおいてp < p(ω^ω) < p(2^ω) が成り立つことは相対的に整合的であり、p < p(ω^ω) = p(2^ω) であることも同様に整合的である。これにより、これらの基数が独立であることが示される。
• 基数p(2^ω)は、2^ωにおいて相対γ集合でない部分集合の最小のサイズであり、同様にω^ωに対しても成り立つ。