[論文レビュー] Selection and improvement of product formulae for best performance of quantum simulation

Mauro E. S. Morales, Pedro C. S. Costa+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2022

Fractal and DNA sequence analysis被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ヨシダの手法を拡張して、量子ハミルトニアンシミュレーションの10次精度積公式を構築し、誤差を著しく低減した8次および10次公式を600以上発見した。8次公式では、ヨシダの最良解よりも1,000倍以上も高い精度を達成し、特に量子化学的応用において $T/\epsilon \sim 10^8$ が一般的な状況で、ヨシダおよびスズキの手法を凌駃する性能を示した。

ABSTRACT

Quantum algorithms for simulation of Hamiltonian evolution are often based on product formulae. The fractal methods give a systematic way to find arbitrarily high-order product formulae, but result in a large number of exponentials. On the other hand, product formulae with fewer exponentials can be found by numerical solution of simultaneous nonlinear equations. It is also possible to reduce the cost of long-time simulations by processing, where a kernel is repeated and a processor need only be applied at the beginning and end of the simulation. In this work, we found thousands of new product formulae, and numerically tested these formulae, together with many formulae from prior literature. We provide methods to fairly compare product formulae of different lengths and different orders. For the case of 8th order, we have found new product formulae with exceptional performance, about two orders of magnitude better accuracy than prior work, both in the processed and non-processed cases. The processed product formula provides the best performance due to being shorter than the non-processed product formula. It outperforms all other tested product formulae over a range of many orders of magnitude in system parameters $T$ (time) and $ε$ (allowable error). That includes reasonable combinations of parameters to be used in quantum algorithms, where the size of the simulation is large enough to be classically intractable, but not so large it takes an impractically long time on a quantum computer.

研究の動機と目的

• 8次を超える高次積公式の構築をヨシダの手法に拡張し、特に10次までを対象とする。
• 指数関数の数を最小限に抑えつつ誤差を最小化する8次および10次積公式を特定する。
• 誤差スケーリングに基づいて、異なる次数および項数を持つ積公式を体系的に比較する手法を開発する。
• スズキのフラクタル法やヨシダの解法と比較して、新規公式の実用的性能を評価する。
• 量子化学的シミュレーションにおいて、高次公式が実用的な利点を示す閾値 $T/\epsilon$ を特定する。

提案手法

• 自由パラメータに関する非線形多項式方程式系を導出し、解くことでヨシダのアンザッツに基づく手法を10次まで拡張する。
• 積公式を導出するための新規なテイラー級数展開法を導入し、ヨシダの多項式的手法とは別な代替手法を提供する。
• 数値ソルバーを用いて多項式方程式系の解を特定し、数百の新しい8次および10次公式を同定する。
• 異なる次数および項数を持つ公式を比較するための正規化誤差指標 $\chi$ を用いる。誤差スケーリングと指数関数の数の両方を考慮する。
• 10,000個のランダムハミルトニアンを用いたシミュレーションから得られる $\chi$-ベースの比較を用いて、性能優位性の閾値 $T/\epsilon$ を推定する。
• 誤差スケーリングの比較とスズキのフラクタル法、ヨシダの既知の解とのベンチマークを用いて、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヨシダの手法は、指数関数の数を最小限に抑える形で、10次積公式を体系的に構築できるか？
• RQ2 8次積公式で達成可能な最小誤差は何か？ また、ヨシダの既知の解と比較するとどうなるか？
• RQ3 実用的に8次公式が6次または4次公式を上回るようになる $T/\epsilon$ の値は何か？
• RQ4 指数関数の数を考慮した場合、新規10次公式の性能は、既存の手法と比べてどうなるか？
• RQ5 量子化学的シミュレーションにおいて、10次公式が8次公式を上回る実用的利点を示す閾値 $T/\epsilon$ は何か？

主な発見

• 著者らは、ヨシダの最良8次解よりも誤差が1,000倍以上低い1つを含む、8次公式を600以上発見した。
• 最小の項数で構築された新しい10次積公式により、ヨシダの手法は8次を超えて拡張された。
• 発見された最良の8次公式は $\chi = 5.7 \times 10^{-7}$ を達成し、$T/\epsilon \sim 1600$ で低次の公式を上回ることを示唆しており、これは通常の量子化学的値よりもはるかに低い。
• 10次公式が8次公式を上回る閾値は $T/\epsilon \sim 6.4 \times 10^{11}$ と推定され、量子化学的シミュレーションの予想される値 ($T/\epsilon \sim 10^8$) よりもはるかに高い。
• 量子化学的応用において $T/\epsilon \sim 10^8$ の場合、新規8次公式が最適であると予想される。6次公式は性能が低く、10次公式は実用的利点を提供しない。
• 最小項数を上回る項数（例：$m=16$）を持つ公式は、誤差を100倍まで低減し、ヨシダの8次公式と比較して1,000倍の改善を達成した。