[論文レビュー] Selection of measure and a Large Deviation Principle for the general XY model

Artur O. Lopes, Jairo K. Mengue|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、熱力学的形式主義における一般化された1次元XY模型に対して、大偏差原理（LDP）を確立する。$ c \to \infty $ となる極限（温度ゼロ）において、ルエル作用素によって選ばれるギブス測度 $ \mu_c $ が、H"older連続関数 $ f $ の最大化測度に弱*収束することを示す。主な結果として、偏差関数が $ R_+^\infty = \sum_{j=0}^\infty R_+(\sigma^j) $ と特定され、ここで $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $ であり、$ V $ は補正されたサブアクションである。唯一の最大化測度が存在するという仮定の下で成立する。

ABSTRACT

We consider $(M,d)$ a connected and compact manifold and we denote by $X$ the Bernoulli space $M^{\mathbb{N}}$. The shift acting on $X$ is denoted by $σ$. We analyze the general XY model, as presented in a recent paper by A. T. Baraviera, L. M. Cioletti, A. O. Lopes, J. Mohr and R. R. Souza. Denote the Gibbs measure by $μ_{c}:=h_{c}ν_{c}$, where $h_{c}$ is the eigenfunction, and, $ν_{c}$ is the eigenmeasure of the Ruelle operator associated to $cf$. We are going to prove that any measure selected by $μ_{c}$, as $c o +\infty$, is a maximizing measure for $f$. We also show, when the maximizing probability measure is unique, that it is true a Large Deviation Principle, with the deviation function $R_{+}^{\infty}=\sum_{j=0}^\infty R_{+} (σ^f)$, where $R_{+}:= β(f) + V\circσ- V - f$, and, $V$ is any calibrated subaction.

研究の動機と目的

• 一般化された1次元XY模型に対して、ゼロ温度極限における大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 逆温度 $ c \to \infty $ に対応するギブス測度 $ \mu_c $ の漸近的挙動を特定すること。
• 補正サブアクション $ V $ と関数 $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $ を用いて、LDPにおける偏差関数を同定すること。
• 任意の $ \mu_c $ の弱*収束列の極限が、H"older連続関数 $ f $ の最大化測度であることを証明すること。
• 最大化測度が一意である場合、指定された偏差関数を用いてLDPが成立することを示すこと。

提案手法

• 固有関数 $ h_c $、固有測度 $ \nu_c $、ギブス測度 $ \mu_c = h_c \nu_c $ を持つルエル作用素 $ L_{cf} $ の使用。
• ルエル作用素 $ L_{cf} $ に対して、$ g_c = cf + \log h_c - \log(h_c \circ \sigma) - \log \beta_c $ と定義される正規化関数の導入。
• 偏差関数 $ R_+^\infty = \sum_{j=0}^\infty R_+(\sigma^j) $ の導入、ここで $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $ であり、$ V $ は補正サブアクションである。
• 二重極限の議論の適用：$ \lim_{c,n \to \infty} \frac{1}{c} \log \int_A e^{c R_-^k} \, dm $ を用いて、大偏差率を分析する。
• $ \phi \mapsto \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \phi(\sigma^j(z)) $ で定義される経験的測度 $ \nu_n $ と、$ R_-^\infty(z) > -\infty $ の下での $ \mu_\infty $ への収束。
• 補正サブアクションとH"older連続性の性質を活用し、$ R_- $ の変動を制御し、対数モーメント母関数の上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般XY模型のギブス測度 $ \mu_c $ は、$ c \to \infty $ のとき最大化測度に収束するか？
• RQ2 XY模型のゼロ温度極限における大偏差原理の偏差関数の明示的形は何か？
• RQ3 補正サブアクション $ V $ は、偏差関数 $ R_+^\infty $ の構造にどのように寄与するか？
• RQ4 与えられた偏差関数を用いてLDPが成立する条件は何か？
• RQ5 シフト写像の反復作用素と逆像構造を用いて、$ \mu_c $ の漸近的挙動を特徴づけることは可能か？

主な発見

• 任意の $ \mu_c $ の部分列の弱*極限は、潜在関数 $ f $ の最大化測度である。
• 最大化測度 $ \mu_\infty $ が一意である場合、偏差関数 $ R_+^\infty = \sum_{j=0}^\infty R_+(\sigma^j) $ を用いて大偏差原理が成立する。ここで $ R_+ = \beta(f) + V \circ \sigma - V - f $ である。
• LDPは二重極限の議論により確立される：$ \lim_{c,n \to \infty} \frac{1}{c} \log \int_A e^{c R_-^k} \, dm $ により、下界 $ \sup_{z \in A} R_-^\infty(z) \geq \limsup_{k \to \infty} \sup_{z: \sigma^k(z) = y_0} R_-^k(z) $ が得られる。
• 最大化測度 $ \mu_\infty $ の台は、$ R_-(y_n) = 0 $ を満たす列 $ \{y_n\} $ の集積点の集合に含まれる。このような列が $ \text{supp}(\mu_\infty) $ の点に集積することを示した。
• $ R_-^\infty(z) > -\infty $ ならば、$ z $ に関連する経験的測度 $ \nu_n $ は弱*収束して $ \mu_\infty $ に一致する。
• 結果 $ \liminf_{c,n \to \infty} \frac{1}{c} \log (L_{g_c}^n \chi_A)(x) \geq \sup_{z \in A} R_-^\infty(z) = -\inf_{z \in A} R_+^\infty(z) $ は、提案された偏差関数を用いたLDPの成立を確認する。