[論文レビュー] Selection problems for a discounted degenerate viscous Hamilton--Jacobi equation

Hiroyoshi Mitake, Hung V. Tran|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、割引パラメータ ε→0 のとき、割引付き退化粘性ハミルトニアン・ジャコビ方程式の解の一様収束を、ε→0 のとき、唯一の定常問題の解に示している。非線形随伴法と新しい交換補題を用いて、著者たちは、動的系の手法を第一順序方程式から退化拡散を伴う粘性方程式へと拡張し、解の極限を確率的マーテル測度を用いて特徴づけている。

ABSTRACT

We prove that the solution of the discounted approximation of a degenerate viscous Hamilton--Jacobi equation with convex Hamiltonians converges to that of the associated ergodic problem. We characterize the limit in terms of stochastic Mather measures by naturally using the nonlinear adjoint method, and deriving a commutation lemma. This convergence result was first achieved by Davini, Fathi, Iturriaga, and Zavidovique for the first order Hamilton--Jacobi equation.

研究の動機と目的

• 割引パラメータ ε→0 のとき、割引付き退化粘性ハミルトニアン・ジャコビ方程式の解 $ u^{000110} $ が定常問題の解に収束することを確立すること。
• 動的系の手法を粘性方程式へ拡張し、極限解を確率的マーテル測度の観点から特徴づけること。
• 退化粘性HJ方程式に特化した交換補題と非線形随伴法を開発すること。
• 凸ハミルトニアンおよび退化拡散の仮定の下で、収束が部分列ではなく全列 $ \varepsilon \to 0 $ に対して成り立つことを証明すること。
• 第一順序方程式から粘性HJ方程式へと選択問題の結果を一般化し、$ a(x) \geq 0 $、特に $ a \equiv 0 $ の場合を含むこと。

提案手法

• 非線形随伴法を適用し、粘性解と分布的解を結ぶ交換補題を導出する。
• 関連する確率的制御問題の力学を用いて、退化拡散 $ a(x)\Delta u $ のための確率的マーテル測度を構成する。
• 交換補題を用いて、粘性劣解がほとんど everywhere 劣解であることを示し、正則性および収束解析を可能にする。
• 集合 $ \mathcal{E} $ に属するテスト関数を用いた比較により、$ u^{000110} $ が定常解 $ u^0 $ に一様収束することを確立する。ここで $ \mathcal{E} $ は、ある積分条件を満たす関数の集合として定義される。
• 部分列の解析を用いて収束を証明する：$ \liminf_{\varepsilon \to 0} u^\varepsilon(x) \geq u^0(x) $ および $ \limsup_{\varepsilon \to 0} u^\varepsilon(x) \leq u^0(x) $ を示し、一様収束を示す。
• 滑らか化と $ \eta $-正則化されたテスト関数を用いて、$ a(x) $ の退化性を扱い、誤差項 $ R_2^\eta $ の収束速度が $ \eta^{1/2} $ であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 割引付き退化粘性ハミルトニアン・ジャコビ方程式の解 $ u^\varepsilon $ は、$ \varepsilon \to 0 $ のとき、定常問題の解に一様収束するか？
• RQ2 退化拡散のための極限解は、確率的マーテル測度を用いて特徴づけられるか？
• RQ3 非線形随伴法は、退化拡散を伴う粘性HJ方程式にどのように適合されるか？
• RQ4 解 $ u^\varepsilon $ の定常解への収束は、部分列ではなく全列 $ \varepsilon \to 0 $ に対して成り立つか？
• RQ5 交換補題は、退化ケースにおいて粘性解と分布的解を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 割引付き方程式 $ \varepsilon u^\varepsilon + H(x, Du^\varepsilon) = a(x)\Delta u^\varepsilon $ の解 $ u^\varepsilon $ は、$ \varepsilon \to 0 $ のとき、定常問題 $ H(x, Du^0) = a(x)\Delta u^0 $ の解 $ u^0 $ に一様収束する。
• 極限解 $ u^0 $ は、すべての関数 $ \phi \in \mathcal{E} $ に対して $ \phi(x) \leq \int_{\mathbb{T}^n \times \mathbb{R}^n} \phi(x) \, d\nu(x,p) $ を満たすものとして、その上界として一意に特徴づけられる。ここで $ \nu $ は確率的マーテル測度である。
• 粘性劣解がほとんど everywhere 劣解であることを示す新しい交換補題が確立され、収束証明において中心的な役割を果たす。
• 正則化誤差項 $ R_2^\eta $ の収束速度が $ \eta^{1/2} $ であることが示され、滑らか化関数 $ S^\eta $ の収束速度と一致する。
• 第一順序HJ方程式（$ a \equiv 0 $ の場合）における選択問題の結果を、退化拡散を伴う粘性HJ方程式へ一般化し、確率的マーテル測度を用いた統一的枠組みを提供する。
• 極限解 $ u^0 $ は部分列の選び方に依存せず、全列 $ u^\varepsilon $ が $ \varepsilon \to 0 $ のとき $ u^0 $ に一様収束することを示す。